高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳

绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：___________一．知识梳理1．二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即rnrnnCC(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项1122nnnnCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()nxy展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9解：由条件得C5n35＝C6n36，∴n！5！（n－5）！＝n！6！（n－6）！×3，∴3(n－5)＝6，n＝7.故选B.例2：(2014·大纲)xy－yx8的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)解：xy－yx8展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8xy8－r－yxr＝33842281rrrrCxy，令8－32r＝2，解得r＝4，此时32r－4＝2，所以展开式中x2y2的系数为(－1)4C48＝70.故填70.【题型二】求()()mnabxy展开特定项例1：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74B．121C．－74D．－121解析展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.【题型三】求()()mnabxy展开特定项例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1解：(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2项为C25x2＋ax·C15x＝10x2＋5ax2＝(10＋5a)x2.∵x2的系数为5，∴10＋5a＝5，a＝－1.故选D.例2：(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．210解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Cm6，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Cn4，故f(m，n)＝Cm6·Cn4.从而f(3，0)＝C36＝20，f(2，1)＝C26·C14＝60，f(1，2)＝C16·C24＝36，f(0，3)＝C34＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120，故选C.例3：已知数列{}na是等差数列，且6710aa，则在1212()()()xaxaxa的展开式中，11x的系数为_______.解：11x的系数为121267()6()60aaaaa。【题型四】求()nxyz展开特定项例1：求x2＋1x＋25(x0)的展开式经整理后的常数项.解法一：x2＋1x＋25在x＞0时可化为x2＋1x10，因而Tr＋1＝Cr101210－r()x10－2r，则r＝5时为常数项，即C510·125＝6322.解法二：所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.分三类：①5个式子均取2，则C55()25＝42；②取一个x2，一个1x，三个2，则C1512C14()23＝202；③取两个x2，两个1x，一个2，则C25122C232＝1522.所以，常数项为42＋202＋1522＝6322.点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.例2：若将10)(zyx展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66解：展开后，每一项都形如abcxyz，其中10abc，该方程非负整数解的对数为210266C。例3：[2015·课标全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析易知Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C25(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝Ct3(x2)3－txt＝Ct3x6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为C25C13＝30.【题型五】二项式展开逆向问题例1：(2013·广州毕业班综合测试)若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cn－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6解：由C1n＋3C2n＋…＋3n－2Cn－1n＋3n－1＝13[(1＋3)n－1]＝85，解得n＝4.故选B.【题型六】赋值法求系数（和）问题例1：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)||a0＋||a1＋||a2＋…＋||a7.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.③(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.④(4)∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴||a0＋||a1＋||a2＋…＋||a7＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.例2：设22＋x2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝_______________________.解：设f(x)＝22＋x2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋…＋a2n＋a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＝f(－1)·f(1)＝22－12n·22＋12n＝－122n＝14n.例3：已知(x＋1)2(x＋2)2014＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a2016(x＋2)2016，则a12＋a222＋a323＋…＋a201622016的值为______.解：依题意令x＝－32，得－32＋12－32＋22014＝a0＋a1－32＋2＋a2－32＋22＋…＋a2016－32＋22016，令x＝－2得a0＝0，则a12＋a222＋a323＋…＋a201622016＝122016.【题型七】平移后系数问题例1：若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5,其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.解法一：令x＋1＝y，(y－1)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，故a3＝C25(－1)2＝10.解法二：由等式两边对应项系数相等.即：a5＝1，C45a5＋a4＝0，C35a5＋C34a4＋a3＝0，解得a3＝10.解法三：对等式：f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5两边连续对x求导三次得：60x2＝6a3＋24a4(1＋x)＋60a5(1＋x)2，再运用赋值法，令x＝－1得：60＝6a3，即a3＝10.故填10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例1：x＋12xn的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，x＋12x9展开式的第四项为T4＝C39·(x)6·12x3＝212.例2：把(1－x)9的展开式按x的升幂排列，系数最大的项是第________项A．4B．5C．6D．7解析(1－x)9展开式中第r＋1项的系数为Cr9(－1)r，易知当r＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.例3：(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n·25＝C6n·26，解得n＝8.所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1，Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1，解得5≤r≤6.所以r＝5或r＝6，所以系数最大的项为T6＝1792x5或T7＝1792x6.点拨：(1)求二项式系数最大项：①如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；②如果n是奇数，则中间两项(第n＋12项与第n＋12＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组Ar≥Ar－1，Ar≥Ar＋1，从而解出r，即得展开式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例1：若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5