培优专题：二次根式

1数学培优专题讲义：二次根式一、知识的拓广延伸1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如aa()0的式子叫做二次根式，其中0,0aa。根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0a，由此我们判断下列式子有意义的条件：2011(1)11;(2);227(2.5)(3)132;(4);(5)312xxxxxxxxxxx2、2a的化简教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：2(0)aaa，在此我们可将其拓展为：aaaaaa200||()()（1）、根据二次根式的这个性质进行化简：①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简22aa=②化简求值：22112aaa；其中a=15③已知，132m，化简2224169mmmmm④2(3)______x；⑤若为a,b,c三角形的三边，则22()()________abcabc;⑥计算：22(417)(175)___________.（2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。2①若2121mmm,求m的取值范围。②若22(2)(62)4xxx，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．③若2147abb,求222aabb的值；④25523,2xxxy已知:y=求的值。3、如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。（1）、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：①1aa，②1(1)1aa（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。(1)3543与(2)232-3—与324、海伦——秦九韶公式=()()()2abcabcppapbpc已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积为S，其中p=，这个公式叫做海伦公式。根据该公式，可以在不求三角形的高的情况下，利用三角形的三边长度来求三角形的面积。（1）、海伦公式的证明。（2）、海伦公式的推广：在任意内接于圆的四边形ABCD中，四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，设+d=()()()()2abcpapbpcpd四边形p=，则S。例如：已知内接于圆的四边形ABCD中，AD=1，AB=1，CD=2。求证四边形ABCD可能为等腰梯形。3二、拓展性问题1、整数部分与小数部分要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。例：（1）、已知61的整数部分为a，小数部分为b，试求ab—b2的值。（2）若x、y分别为811的整数部分与小数部分，求2xy—y2的值。（3）已知451的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值。（4）若17________aabab，是的小数部分，则。53+2aab（）、若的整数部分为a，小数部分为b，求的值。2、巧变已知，求多项式的值。32135125xxxx（1）、若，求的值。22211+y2323xyxzxyxzyz（2）、若，y-z=，求的值。31_________20121m５４（3）、若，则m－２ｍ－2011m的值为。3、用归纳法化简求值1111+++21+232+2343+34109910化简...+44、应用海伦—秦九韶公式。在三角形ABC中，BC=4，AC=5，AB=7，求此三角形的面积。5、分母有理化(1)．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。(2)．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。(3)．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例】把下列各式分母有理化（1）148（2）4337（3）2ab（4）221（5）5353（6）3332231、已知2323x，2323y，求下列各式的值：（1）xyxy（2）223xxyy2、把下列各式分母有理化：（1）ababab（2）2222aaaa（3）2222babbab