2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题-5

图1BADCP2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题一、填空题（共10小题，每题6分，满分60分）1、已知集合M满足条件：1,2,3,,5121,2,3,,2013M，则符合条件的集合M共有个。2、已知,xyR，11111212xy，则xy3、已知符号函数1,0sgn()0,01,0xxxx，则函数()sgn(ln)lnfxxx的零点有个。4、已知直四棱柱1111ABCDABCD各棱长均为3，60BAD。长为2的线段MN的一个端点M在1DD上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为5、连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为5的球的两条弦AB、CD的长度分别等于6、8，M、N分别为弦AB、CD的中点，则MN的取值范围是。6、已知平面直角坐标系中：(2,0)A、(2,0)B、(0,2)C、(1,0)E、(1,0)F，一束光线从F点出发射到直线BC上的D点经直线BC反射后，再经直线AC反射，两次反射后落到线段AE上（不含端点），则直线FD斜率的范围是。7、函数21()2xfxx的值域是。8、已知函数()yfx是定义在实数集R上的奇函数，且当0x时，2()fxx，若对任意的[,2]xtt，不等式(2)4()fxtfx恒成立，则实数t的取值范围是。9、（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）若1x，2x，，nx的方差是2(0)ss，a、b是常数，则1bxa，2bxa，，nbxa的标准差是。（必修4）如图所示，在直角梯形ABCD中，ABAD，1ADDC，3AB，动点PAPABAD（、R），则在BCD内运动（含边界），设的取值范围是。10、已知集合22,AmmxyxyZ、。将A中的自然数元素从小到大排列为：1a，2a，。若2013na，则正整数n。二、（本题满分20分）如图2所示，圆1O为ABC的外接圆，且ABAC，延长AC到D，使ADAB，E为CAB的平分线与BC的交点，圆2O为CDE的外接圆，F为两圆的另外一个交点。证明：（1）A、E、F三点共线（2）2OFAD图2O2O1FDEACB图2O2O1FDEACB三、（本题满分20分）已知a、bR，且221ab。考察在平面直角坐标系xoy的直线系M：210axbyb（1）若点00(,)Pxy到M中的任一条直线的距离都是定值d，求点M的坐标及d的值（2）若直线系M中至多有一条直线经过点(,)Qxy，求点Q的轨迹方程。四、（本题满分20分）（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）已知对任意的实数0x，都有1xex（1）长度为1的木棍任意的折成两段，较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木棍能组成三角形的概率P；（2）证明：11ln(31)(1)23Pnn，其中P为（1）中所求的概率。（必修4）已知函数22()2sin(cos)()fxxaxaaR（1）判断()fx的奇偶性（2）若()0fx仅有一个实数解，求a的值五、（本题满分20分）已知两条直线1l：1ym和2l：4(1)1ymm，1l与函数lnyx的图像从左至右相交于点A、B，2l与函数lnyx的图像从左至右相交于点C、D。记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b。记A、B、C、D四点的横坐标分别为1x、、3x、4x。（1）证明：12341xxxx；（2）求ba的最小值2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案一、填空题1、15012；2、1；3、3；4、29；5、[1,7]；6、(4,)7、3[0,]3；8、[2,)；9、（必修3）bs；（必修4）4[1,]3；10、1511二、证明：（1）延长AE交圆1O与1F，连接1CF。由AE平分BACBAEDAE，结合ABAD，故BAEDAE，BD，而1CFAB11CFECFADC，E，1F，D四点共圆因此1F也是两圆的交点，从而1F和F重合，即A，E，F共线。（2）由A，E，F共线，AE平分BACBFCF，由对称性得出BFDF，故CFBFDF，因此CFD为等腰三角形，由于2O为其外心，故2OFCD即2OFAD三、（1）由点到直线的距离公式得：00002221(2)1axbybdaxbyab因d是常数，故00020xy0002xy，即(0,2)P，从而1d（2）由（1）知，(0,2)P到直线系M中任一条直线的距离都是1，因此直线系M中每一条直线都是以P为圆心，以1为半径的圆（圆22(2)1xy）的切线由平面几何知识，圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故Q点的轨迹是圆及其内部，即22(2)1xy四、（必修3）解：设较长的一段长度为a，将a分成的两段长为x，y，1()(,1)2axy，若长度为x，y，1a的三段能构成三角形，则1212112xya，画出图形计算出13P（2）11ln(31)(1)23Pnn111ln(31)(1)233nn由1xexln(1)xx1ln(11)ln211ln(1)ln3ln22211ln(1)ln4ln33311ln(1)ln(31)ln(3)33nnnn以上各式相加得：111ln(31)(1)233nn，即11ln(31)(1)23Pnn（必修4）（1）注意到函数()fx的定义域是R，xR，22()()2sin(cos())()fxxaxafx，故()fx为偶函数（2）由于()0fx仅有一个实数解，且()()fxfx,故其有唯一解0x(0)0f22sin1aa0a或sin1a（i）当0a时，原方程化为20x，仅有一个解0x，符合题意（ii）当sin1a时，原方程化为224sin1sin(cos)4sin10xx，而cos[1,1]x，故sin(cos)sin1x24sin14sin1sin(cos)x224sin14sin1sin(cos)xx，等号仅在0x时成立，符合题意。综上，0a或sin1a五、证明：（1）由题知12lnlnxx12lnlnxx121xx，同理341xx（2）4231424211xxaxxxxxx，42bxx，则24bxxa而12xx，34xx21x，41x，故2ln1xm，44ln1xm12mxe，414mxe41124mmxxe而4441122(1)2111mmmmmm6(1)m等号在411mm即3m时取到，故ba的最小值为6e