平行线的判定及性质

1平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余.∵=90º∴与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补.∵=180º∴与互为补角二.余角和补角的性质:同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等.三.对顶角的性质:对角相等.四.“三线八角”：1、同位角2、内错角3、同旁内角五.平行线的判定:1、同位角相等,两直线平行.2、内错角相等,两直线平行.3、同旁内角互补,两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行.六.平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等；2.两直线平行,内错角相等；3.两直线平行,同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1.如图所示，互余角有_________________________________；互补角有_________________________________；变式训练：1.一个角的余角比它的的13还少20º，则这个角为_____________。2.如图所示，已知∠AOB与∠COB为补角，OD是∠AOB的角平分线，OE在∠BOC内，∠BO=12∠EOC,∠DOE=72º,求∠EOC的度数。二、“三线八角”例2（1）如图，哪些是同位角？内错角？同旁内角？EDCBAO1234ABCDEF123456782345612（2）如图，下列说法错误的是（）A.∠1和∠3是同位角B.∠1∠5是同角C.∠1和∠2是内角D.∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC中，DE分别交B、A于D和E,则图中共有同位角对，内错角对，同旁内角。三、平行线的判定例3如右图①∵∠1＝∠2∴_____∥_____，（）②∵∠2＝_____∴____∥____，(同位角相等，两直线平行)③∵∠3＋∠4＝180º∴____∥_____，（）∴AC∥FG，（）变式训练：1.如图,∵∠1=∠B∴∥_____，（）∵∠1/∠2∴_____∥_____，()∵∠B＋_____＝180º，∴AB∥EF()例4.如图，已知AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,∠1和∠2互余，求AB∥CD,ABCDG132CABED1∴∠B＋_____＝180º，____ABCDEF12312345763变式训练：如图，已知直线a、b、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180º,则a∥c平行吗？五、平行线的性质例5如图所示，AB∥EF，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求∠BEC的度数。变式训练：1．如图所示，L1L2，则∠1=_____．（浙江省中考题）2．（兰州·中考题）如图所示，AB∥CD,MN交CD于点E,F,GE⊥MN于点E，若∠DEG=60°，求∠AFE的度数。【名书·名校·竞赛·中考在线】1.(2009青岛市)如图，已知AB∥CD,∠1=100º，∠2=120º，则∠=。abcde1234ADBCP242.（2011山东日照，）如图，已知直线ABCD∥，125C°，45A°，那么E的大小为（）（A）70°（B）80°（C）90°（D）100°3.如图，∠BED=∠B+∠D则AB与CD有怎样的位置关系？请说明理由。（2010·培优）4.（2010武汉）如图，点P是四边形ABCD的边CD上任意一动点，且∠C=∠1+∠2.请问AD与BC有怎样的位置关系？请说明你判断的理由。5.（第18届北京市“迎春杯”竞赛题）已知∠A的两条边和∠B的两条边分别行，且∠A比∠B的3少20°，求∠B的度数。6.（2008·培优）如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的线，求证：AE∥BC。BCDEAABCDP1221EDCBA5平行线的判定与性质（二）（拓展训练）【知识要点】一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：1.由角定角已知角的关系两直线平行确定其它角的关系2.由线定线已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：1.由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。2.执果溯因（分析法）：即——要得到结论需要具备什么条件。所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。三、简单的面积问题：1.计算图形面积的常用方法：①和差法②运动法③等积变形法2.求图形面积的常用技巧：寻找共用的三角形。【典型例题】例1(拐弯行走问题)如图，某人从A点出发，每前进10米，就向右转18°，再前进10米，又向右转18°，这样下去，他回到出发地点时，一共走了________米．变式训练：1.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=．2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）．（A）第一次向左拐70°，第二次向右拐30°（B）第一次向右拐60°，第二次向左拐130°判定性质性质判定AA1A218º18º6（C）第一次向右拐60°，第二次向右拐130°（D）第一次向左拐70°，第二次向左拐130°例2（翻折问题）将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，求∠A的度数．变式训练：1.如图，将长方形ABCD纸片沿BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中4°的角有（）．（虚线也视为角的边）（A）6个（B）5个（C）4个（D）3个2.如图①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图案②，再沿BF折叠成图案③，则③中的∠CFE的度数是__________。例3．（平行线的性质和判定的应用）1.如图,已知：∠1=∠2.∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.ADBCABCDEF231456BGAE②FCD①ABCDEFBGFAEDC③CBCDEAC72．如图，已知CD∥AB于D，EF∥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数．变式练习：1.如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，EF交AB于点G，交CA的延长线于点E，且∠1=∠2．∠EAD=∠BAC吗？说说你的理由．BCADEFG2112ABCDFGE82.如图，若AB∥CD，∠1=∠2，则∠E=∠F，为什么？例5.（综合应用）如图，已知M是AB的中点，N是BC上的一点,CN=2BN,连接AN交MC于O点，若四边形OMBN的面积为14cm2.求：（1）CO:OM的值。（2）⊿ABC的面积(2008年两岸四地少年数学精英邀请赛试题)ONMCBA12ABCDEF9变式训练：如图,已知⊿ABC的面积是60，BE:CE=3:1，AD:CD=3:1，求四边形ECDF的面积。（“华赛杯”试题）【名书·名校·竞赛·中考在线】1．(2007福州、)如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）（1）当动点P落在第①部分时，试说明：∠APB=∠PAC+∠PBD．ABCDEF10（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明．11思考题：1.已知O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l1、l2、l3、…l2005，则可形成对以O为顶点的对顶角。（山东省竞赛题）2.若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。（第17届江苏省竞赛题）3.在同一平面内有2002条直线a1、a2、…、a2002，如果a1⊥a2,a2∥a3、a3⊥a4、a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是。