最佳购房时机的数学模型新

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：广西师范大学参赛队员(打印并签名)：1.徐振兴2.陈珊珊3.陈美霖指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2012年8月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1最佳购房时机的数学模型摘要21世纪住房成为时代主题，特别在人口规模不断扩大的中国，许许多多的年轻人为了替自己也替下一代谋得一处舒适的家园而不得不努力拼搏.对于刚参加工作的男性年轻人来说，许多人生大事与房子有关，如婚姻，能在30而立之时真正立于世是人生一大挑战.因而赚钱买房也许是大部分人的奋斗目标，如何正确认识自我价值和社会环境发展从而对买房事业做一个合理的规划成为需要考虑的重点.本文以山东为例探究山东省一位2012年参加工作的24岁年轻人的最佳购房策略.通过分别研究当今房价形势，职工工资平均水平及分布情况，居民平均消费，房贷政策等建立相应的模型以预测买房形势.以市场上主要销售房商品房和政府调控定价的经济适用房作为所要买房型，分析数据择优选择对数回归模型得到两种房的价格模型：经济适用房房价模型m1(t)与商品房房价模型m2(t).利用题目提供的关于职工工资的表格数据，分析择优选择Logistic阻滞增长模型拟合得到职工平均工资模型，再根据统计学抽样调查比例特性得到各年龄段职工的平均工资模型N（t），从而能预测题设年轻人未来工资.在得到工资模型的情况下，运用凯恩斯绝对收入假设下的消费函数将消费模型建立在工资模型上，得到能预测消费的消费模型Y（t）.综合工资模型和消费模型可得到年存款模型C与累计存款模型G.考虑到买房后的还贷问题根据房贷政策设计出数学模型F，同时设计出首付模型A所有关于时间的模型建立之后，题设年轻人的工资，消费，存款均可预测，同时房价也可通过模型预测出来，买房需达到以下条件()()(1)/12()GtAtCtFt式子中上面的式子表示累计存款大于首付，下面的式子表示次年月可用资金不小于首期还款额.由此条件再综合考虑可得到购房方案：方案一在2014年末申请购买85平方米的经济适用房，贷款类型为等额本金还款型贷款，贷款时间20年.方案二在2017年末或2018年末根据当时自身发展情况选择一定面积（大于85平方米）的商品房如表中所列：购房面积/平方米9095100105110115120购房时间/年份2017201720172017201720182018贷款类型等额本金等额本金等额本息等额本金等额本金等额本金等额本金贷款时间/年20202020202020还贷总金额/万元58.7763.7465.3068.5671.8377.1580.51注：表中贷款类型为等额本金还款型贷款.2关键字：购房、最佳时机、山东省、数学模型一、问题重述现如今，购房几乎是每个家庭（人）都要面对的问题，而购房通常要考虑购房能力（能付首付）和还贷能力（在不影响正常基本生活的前提下，按揭还付银行借款）.现给出了山东省从1978年~2010年职工平均工资和某企业分年龄职工数量及薪酬分布表，要求完成如下工作：1、收集山东省楼市的数据；2、收集用于生活消费的数据；3、收集关于购房贷款的相关政策；4、对于2012年参加工作（24岁）的年轻人（山东），为其给出最佳的购房策略（购房的面积、时间）.二、问题分析贷款买房首要考虑的两个因素：购房能力（能付首付）和还贷能力（在不影响正常基本生活的前提下，按揭还付银行借款）.即买房者需要有足够现金支付房子的首付，然后还要保证每月按期还付贷款.题目要求具体分析一位2012年参加工作（24岁）的年轻人（山东）买房，给出最佳的购房策略（购房的面积、时间）.2012年参加工作的24岁年轻人应该考虑婚姻问题，而结婚首先需要有一套新房，本文研究前提为不考虑其与家庭的经济往来，假设他需要靠自己能力贷款买房，则为了不耽误婚姻需要在一定时间内买房，因此我们对房价只要求短期的预测，而考虑还贷是长期的，则工资及消费的预测也是长期的.接下来我们需要做如下工作：第一部分：收集山东省楼市的数据，根据分析收集来的山东省从2001年到2011年的经济适用房、商品房和总的楼市的价格指数，用合适的数学模型分别拟合出三类房价比值走势图，从而预测山东省未来几年甚至几十年的房价比值，并由2012年实时房价推出各年预测房价，再按首付合理比例得出首付模型.第二部分：根据题目提供的某企业分年龄职工数量及薪酬分布表算出24岁职工工资与平均工资的比值，并由山东省职工平均工资表用合适的数学模型拟合出山东省职工平均工资走势图，再通过比例预测这位24岁年轻人未来各年工资；第三部分：收集用于生活消费的数据，根据得到的从1978年到2010年的居民生活消费平均值，用合适的数学模型拟合并预测未来各年消费；第四部分：根据前面的工资预测模型和消费预测模型得到每年的存款，并得出每年存款模型和累计存款的模型；第五部分：根据贷款政策得到贷款模型，包括按揭还款值和还款总值.前期完成买房背景的预测之后，开始分析数据得出最佳购房时机.最佳购房时机数学模型的建立及其定量分析：第一步：要有足够存款付房子首付，及通过累计存款模型和首付模型的对比得出可以付首付的年份；第二步：要保证付首付以后每月能按期还贷，及通过每年存款模型和贷款模型对比得到付完首付后能按期还款的年份；第三步：通过首付年份与可还款年份的对比得到最终确定买房时间及买房策略.补充说明：分析购房时机时房型分经济适用房、商品房，面积也分几个类别，3贷款类型按还款类型分为等额本金还款法和等额本息还款法.买房策略包括买房时间、房型、房子面积、贷款类别等.问题解决流程图：三、房价模型3.1数据说明根据山东统计信息网数据显示，每年的商品房建设量和销售量均为房地产业的主要部分，市场显示商品房作为面向大众的主要销售房型，因此考虑本题所买房型主要为商品房.同时根据市场显示，经济适用房的房价由于受政府调控，价格相对较低，约为商品房的一半，因此如果够申请资格可以考虑购买经济适用房，根据2007年1月1日施行的《山东省经济适用住房管理办法》，经济适用房最大面积为85平方米.房价数据为房价指数和2012年实时房价.房价指数数据见附录1，数据采自山东统计信息网《山东统计年鉴》（链接：）.2012年实时房价数据：商品房根据山东日报2012年7月29日《上半年山东省商品房供销双落》：全省销售商品房2997万平方米，实现销售额1391亿元.得出均价4650元/平方米，经济适用房价根据各地房价采用均价2500元/平方米.注：指数即房地产价格指数，是反映一定时期内房地产价格变动趋势和程度的相对数值，本年指数以上一年价格为100计算，如本年价格600，上一年价格为500，则本年价格指数为600÷500×100=120.3.2符号说明及模型建立符号说明：时间为t，以1978年为t=0,则2012年为t=34计年参数b:如2012年，b=2012房价增长比例为y：经济适用房y1，商品房为y2房价为m：经济适用房m1，商品房为m24模型设计：通过研究房价指数得到房价增长趋势模型，再通过比例将实时房价代入房价趋势模型得到房价预测模型，两个模型呈线性关系.而对模型的要求为短期预测合理，因此仅通过时间来预测房价便可达到要求.由于房价指数是相对上一年，没有固定的参照数，无法作为连续预测数据，根据价格指数的算法，将价格指数转化为每年相对2001年的比值，称为增长比例.具体算法：价格指数记为w,增长比例记为bw(b)=100×y(b)/y(b-1)w(2001)=100w(2002)=100×y(2002)/y(2001)w(2003)=100×y(2003)/y(2002)……做变换b(b)=w(2001)×w(2002)×…w(b)/2000100bb(2001)=1b(2002)=w(2001)×w(2002)/2100b(2003)=w(2001)×w(2002)×w(2003)/3100……通过以上变化将两种房型的价格指数化为增长比例，列出数据如下表3.2.1，表3.2.2：表3.2.1商品房分析数据表年份2001200220032004200520062007200820092010价格指数104.0105.2107.0112.3108.5105.1106.0106.7102.0107.5增长比例1.04001.09411.17071.31471.42641.49911.58911.69561.72951.8592表3.2.2经济适用房分析数据表年份2001200220032004200520062007200820092010价格指数103.0105.2105.7109.3107.5104.0103.6102.9100.5102.0增长比例1.03001.08361.14531.25181.34571.39961.44991.49201.49941.5294分别用各表数据以时间t为横坐标，增长比例y为纵坐标做出散点图可发现增长趋势图可以用一元线性回归分析或对数回归分析来拟合预测.用Matlab软件对两个表数据的拟合得到的模型为：拟合度经济适用房价增长比例线性拟合：y1=﹣0.3086+0.0593t0.9530经济适用房增长比例对数拟合：y1=﹣4.0749+1.6314×ln(t)0.9677商品房增长比例线性拟合：y2=﹣1.1150+0.0930t0.9924商品房价增长比例对数拟合：y2=﹣6.9536+2.5374×ln(t)0.9924注：拟合度越接近1说明拟合效果越好.5拟合（程序见附录2）图形结果如图3.2.1：图3.2.1通过拟合度对比可知对数回归分析模型略优于线性回归模型，因此选择对数回归模型作为房价增长趋势模型,以下选取的关于y的式子均为拟合得出的对数函数.房价增长趋势模型很好的反映了房价的变化趋势，但要得到房价预测模型还需做以下变换：经济适用房房价模型m1(t)=2500×y1(t)/y1(34)商品房房价模型m2(t)=4650×y2(t)/y2(34)由以上模型便可以在短期内合理预测各年的房价.以下给出2012年至2021年间房价表：表3.2.3商品房预测价格表年份2012201320142015201620172018201920202021价格（元/2m）4650482249885150530854625612575859006040表3.2.4经济适用房预测价格表年份2012201320142015201620172018201920202021价格（元/2m）25002571263927062770283428952995301430716四、工资模型4.1数据说明题目附录给出了《2009年山东省某企业各年龄段工资分布表》和《山东职工平均工资表》，模型由此建立.表4.1.12009年山东省某企业各年龄段工资分布表年龄段月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-800020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数011748336