《微积分》(中国商业出版社-经管类)课后习题答案二

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题二1.列数列}{nx当n时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：（1）;)1(1aaxnn（2）;3)1(nnx（3）;11ngxn（4）;)11()1(nxnn（5）;1)1(3nxnn（6）;1secnxn（7）;2642)12(531limnnn（8）.2121121211lim)1(221nnn解：1）收敛.因为当n时,;)1(aan所以;0nx所以.01limlimnxnxax2)因为为奇数为偶数nnxxnn313所以nx是发散的;3)发散的.因为当n时,01n;所以ngxn11;4)因为为奇数为偶数nnxn11所以nx是发散的;5)收敛的.因为当n时,01n;所以31)1(3nxnn;即xlim3nx;6)收敛的.当n时,01n;11secn;即xlim1nx;7)因为nnnnnnnn12)22(2)121(2642)12(531;所以xlim11nn;所以是收敛的;8)因为23211)21(121121121211212112121)1(221nnnn1211n所以2321123lim1nx;所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为;21,,21,21,11-n2所以通项为;211nna所以xlim0na;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）;)0(lim0xx（2）;)0(limxx（3）;1),0(lim0aaxx（4）;1),0(limaaxx（5）;1),0(loglim1axax（6）;arccoslim1xx（7）;arctanlim1xx（8）.coslimxx解：1）当0x时,xlim;0)0(uxu2）xlimxuuxlim)0(;0)0u(1ux3）xlim1)1,0(aaax4）0;1axlim.11.10)1,0(aaaaax所以极限不存在1;1a5)0)1,0(loglim1aaaxx6)xarccoslim1x所以;1cos7).4xarctanlim1x8)xcoslimx的极限不存在4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1）;0,)(xxxxf（2）;0,3)(1xxfx（3）;0,1arctan)(xxxf（4）.1,21,)1arcsin(1,)1(11)(xxxxxgxf解：1)10limx0lim1)x(fx;1)(fx所以该点的极限不存在2)10limx0)x(f0limx;)x(f所以该点的极限不存在3)10limx;2f(x)lim2-f(x)0x所以该点的极限不存在4);0)x(flim211)x(flim11xxg所以该点的极限不存在5．用或N的方法陈述下列极限：（1）;)(limAxfax（2）;)(limAxfax（3）;)(limAxfx（4）.)(limAxfx解：1)当ax0时Axf)(2)当x-a0时Axf)(3)当Mx时Axf)(4)当-Mx时Axf)(6．用极限的严格定义（即或N的方法）证明下列极限：（1）;01lim4nn（2）;31135lim22nnn（3）;01lim1xx（4）.010limxx解：1)对于任意给定的,要使成立,只要使14n即41n成立所以对于任意给定的,存在41N当Nn时恒有014n成立,故01lim4nx2)对于任意给定的,要使3113522nn成立即29316)(1limnxfoxx成立所以对于正数,存在293-16N成立当Nn时恒有3113522nn成立所以31135lim22nnx3)由于10)(xxf所以对于任意给定的0,存在2当10x时恒有0)(xf成立故01lim1xx4)对于任意给定的正数要使010x成立即1gx成立所以存在.1gX当Xx时恒有1gx成立即.010limxx7．求下列极限：（1）;)(lim330hxhxh（2）;11lim1xxnx（3）;)2(arctanlim1xxx（4）;11lim21xxxxx（5）;11lim220xxx（6）;231lim3xxx（7）;22312lim4xxx（8）.)31(lim22xxxxx解：1）22203322303303)33(lim33lim)(limxhxhxhxhxhhxxhhhxhhh2)nxxnx11lim13）12)1(arctanlim2arctanlim1xxxxx4)xxxxxxxxxxxxx1lim)1()1)(1(lim)11(lim11215)2)11(lim)11(lim11lim202220220xxxxxxxxx6))31)(2(91231lim33xxxxxx)31)(2()42)(2(33323xxxxx27))312)(22()312)(312(lim22312lim44xxxxxxxx)312)(22()4(2lim4xxxx)312()22(2lim4xxx3228))31(lim22xxxxx)3142(lim22xxxxxx1)31111142(lim2xxxxxx8．求.3545lim211nnnnn解：51)53(95)54(411lim3545lim211nnnnnnnn9．下列数列}{nx，当n时是否是无穷小量？（1）;31050nnx（2）;1)1(1nxnn（3）.nnnx解：1)是无穷小量因为0limnnx2)是,因为0limnnx(n为奇数或者偶数)3)不是.10．当0x时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）;1003xy（2）;1012100xy（3）;)1(log2xy（4）;4cotxy（5）;2secxy（6）.1sin1xxy解：1)是无穷小,因为0lim0yx2)是无穷大量,因为yx0lim3)是无穷小量,因为0lim0yx4)是无穷大量,因为yx0lim5)是无穷大量,因为yx0lim6)非大非小11．已知)()(lim0xgxfxx存在，而0)(lim0xgxx，证明.0)(lim0xfxx解：因为,5252lim5arctan2lim00xxxxxx)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx存在而0)(lim0xgxx所以;0)(lim0xfxx12．设31lim21xbaxxx，求a，b.解：因为3lim1lim121yxxbaxxxx所以1)2)(1(12xxxxbaxx所以1a,2b13．设011lim2baxxxx，求a，.b解：011lim)11(lim222xbbxaxaxxbaxxxxx所以即bbxaxaxx221为一常数所以-1b1a14．当0x时，下列变量中与423xx相比为同阶无穷小的是（B）.A．xB．2xC．3xD．4x解：B．因为3131lim3lim204220xxxxxx15．求.28159lim4823nnnnn解：3281591lim281593lim4835482nnnnnnnnn16．设ax时)(xf，)(xg，则下列各式中成立的是（D）.A．)()(xgxfB．0)()(xgxfC．0)()(1xgxfD．0)(1xf解：D.因为ax时f(x),g(x)，所以0)(1xf，0)(1xg.17．求下列极限（1）;)72()43()12(lim15510xxxx（2）.)cos100(1lim32xxxxx解：1)15510)72()43()12(limxxxx32243232)72()43()12(lim15510151515510xxxxxx2)x)105100(1111lim)105100(1lim2332xxxxxxxxx18．求下列极限：（1）;3sin2sinlim0xxx（2）;sinsinlim0xxxxx（3）;5arctan2lim0xxx（4）;sinlimnnn（5）;sinlimxxx（6）;cos1lim0xxx（7）;cos1cos1lim20xxx（8）;sintanlim0xxxx（9）;sintancoslim0xxxxxx（10）.65)1sin(lim21xxxx解：1)3232lim3sin2sinlim00xxxxxx2)0sin1sin1limsinsinlim00xxxxxxxxxx3)5252lim5arctan2lim00xxxxxx4)nnnnnnnnn1lim1sinlim)sin(lim5)11coslim')()(sinlimsinlim'xxxxxxxx6)2)'2sin2()'(lim2sin2limcos1lim000xxxxxxxxx7)28)0)coscos1(lim')'sin(tanlimsintanlim2000xxxxxxxxxxx9)1coslim)coscos1(sin)cos1(limsintancoslim000xxxxxxxxxxxxx10)7111lim)6)(1(1lim65)1sin(lim1121xxxxxxxxxx19．设3)1sin(lim221xbaxxx，求a，.b解：因为3)1)(1(lim)1sin(lim21221xxbaxxxbaxxxx所以)5)(1(2xxbaxx所以-5b.4a20．设nnnnxn22212111，用极限存在的夹逼准则求.limnnx解：因为nnnxnnn22111而111lim2nnn，11lim2nnnn所以1limnnx21．求下列极限：（1）;31lim3xxx（2）;)21(lim13xxx（3）;21