有限元平面问题2

1,2111121iiijkijkiikkjjikkjjiiyxNyxyxyxyxyxyxyxyxyxA即：1,,,kkkjjjiiiyxNyxNyxN（由i,j,k轮换性知）同理可证：0,,kkijjiyxNyxN（作业：证明：kjijiyxNjji,,0,）因此1,,0,,0,,1,00,,1,,0,0,,0,,1,kkkjjkiikjiikkjjjjiijkkijjiiiiyxNyxNyxNjijijNyxNyxNyxNyxNyxNyxN（2-12）即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。2.在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即1,,,yxNyxNyxNkji。证明：ycccxbbbaaaAycxbaycxbaycxbaAyxNyxNyxNkjikjikjikkkjjjiiikji2121,,,jikikjkjiyybyybyybijkkijjkixxcxxcxxc1,,,002yxNyxNyxNxxxxxxcccyyyyyybbbAyxyxyxyxyxyxaaakjiijkijkkjijiikkjkjiijjikijkjkkjkji（2-13）由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。3.ij边上的形函数kjiiNi,,与节点k的坐标无关（i，j,k轮换），即在ij边上有：0,,1,yxNxxxxyxNxxxxyxNkijijijii（i，j,k轮换）（2-14）证明：设节点i坐标：iiyx,,节点j坐标：jjyx,。求：ij边的直线方程。ijiijixxxxyyyyijijiiyyxxxxyykkjjkiikjkijikjkijijijjijijijjjikkijjjjjjkjiikkkijkijccbcbxxAxxccbxxbAxxccbxxbycxbaAxbxbycxbaAxxcbycxbaAycxbaAyxNNijNyxxxcbbyycxx222222,N,:,,Nyy,jji１１１１１１＝计算边上的值在得到代入直线方程为：0,iijijijjyxNycxbakkjjiiyxyxyxA11121Ayxyxyxyxyxyxxxyyxxyycbcbjkijkiikkjjikijiijikjkkj2kijcxxyxN,ijkxxcijijxxxxyxNij,边上有：在在ji边上：0,2222,iikikkkkikikkkikkikkkkkkkyxNycxbaAxxbycxbaAxxcbycxbaAycxbaAyxN１１１１由性质2：ijikjixxxxyxNyxNyxN1,,1,即在i,j边上有：0,,1,yxNxxxxyxNxxxxyxNkijijijii（2-15）证毕。同理知：（轮换）在jk边上有：在ki边上有：ijikijijixxxxyxNxxxxyxNyxN,1,0,ijikjijiixxxxyxNyxNxxxxyxN1,0,,几何表示：五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）下面我们来验证所设的位移函数yxvyxu654321满足收敛准则（三条）。1、单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）由几何方程：xvyuyvxuxyyx寻找物体发生刚体位移的条件。若物体发生刚体位移，则有：xfvyfuxvyuyvxuxyyx21,000的任意函数为yu由0xy得：021xxfyyfdxxdfdyydf21等式两侧分别为x和y的函数，要使其相等只有：constdxxdfdyydf21积分：xvxfyuyf0201式中00,vu为积分常数故位移：00201xyyxxvxfvyuyfu即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是xyyx的情形。故：刚体转动的转角方向的刚体位移方向的刚体位移yxu00v事实上，将位移函数改变形式为：yxxvyyx6355345353212222u显然可看出：转的刚体转动体现绕无关）方向的刚体位移（与体现无关）方向的刚体位移（与体现zyxyyxx2,,3541（其它系数意义后述）2、单元位移函数解反映单元的常应变由：xvyuyvxuxyyx可以得到：5362xvyuyvxuxyyx53532121xy显然：常量体现了单元的剪应变为方向的常应变体现了单元沿方向的常应变体现了单元沿5362yx由此看出，但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数：]yxvyxu654321下个典的各个应变量均为常量。故称为常应变单元。3、单元的位移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。显然，设yxvyxu654321是单元内部的连续函数。下面考察下边界上协调（一致）的问题。由形函数的第3条性质，我们证明：对于相邻的两个单元jiee,,21为公共边界。ij边上的N:0,,1,yxNxxxxyxNxxxxyxNkijijijii分别写出两个单元在公共边上的位移表达式。对于单元1e，其位移函数为：kkjjiiekkjjiievNvNvNvuNuNuNu11（*）对于单元2e，其位移函数为：mmjjiiemmjjiievNvNvNvuNuNuNu22（**）Ij为单元1e，2e的公共边界。由形函数的性质3我们知道：01mkijijijiiNNxxxxNxxxxN仅与节点i有关。因此，对于1e：jijiiijiejijiiijievxxxxvxxxxvuxxxxuxxxxu1111对于2e：jijiiijiejijiiijievxxxxvxxxxvuxxxxuxxxxu1122与节点k,m无关，仅与i,j节点坐标及iivu,有关。jixx,--已知常数iivu,--节点位移唯一边界上x唯一确定u,v由1eu和2eu比较及1ev和2ev比较知：在公共边界上各点，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形单元的位移函数yxvyxu654321满足收敛性条件。Note:用三角形单元计算则位移是连续的。而应力、应变是阶梯的。位移法（假设位移）的结果位移要好（比应力准确）。2-5三角形单元的刚度矩阵（单刚）提示：我们已经建立了三角形单元的位移函数；导出了三角形单元的形函数；并用形函数来表示其位移函数；最后，我们证明了三角形单元位移函数的收敛性。下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工作要做。一、三角形单元的应变矩阵[B]将位移函数写出来：kkjjiikkjjiivNvNvNvuNuNuNu其中：ycxbaANjjji2１),,(kjii把位移函数u,v代入几何方程：kkkkjjjjiiiikkjjiikkjjiixykkjjiiykkjjiixvbucvbucvbucAvbvbvbucucucAxvyuvcvcvcAyvubububAxu21212121写成矩阵的形式就是：（单元上任一点的应变）kkjjiikkjjiikjikjizyxvuvuvubcbcbccccbbbA00000021（2-16）或eB（2-17）式中：kkjjiikjikjibcbcbccccbbbAB00000021（2-18）或分块：kjiBBBB（2-19）式（2-16）表示单元节点位移eA与单元应变的关系。矩阵B称为应变矩阵。式（2-18）表示应变矩阵为常数矩阵jkikiixxcyyb,，再次证明三节点三角形单元为常应变单元。二、三角形单元的应力矩阵S由物理方程知：xyxyyxyyxxuEuEuE21111222xyxyE12用矩阵表示：xyyxxyyxuE2100010112（2-20）或缩写为：D（2-21）其中：2100010112uED（2-22）称为弹性矩阵（仅与弹性常数有关）。把B代入物理方程D，得到：BDD令BDS（2-23）则有：S（2-24）式（2-24）表示应力与节点位移的关系。S由式（2-23）给出，称为三角形单元的应力矩阵。显然，弹性矩阵D及应变矩阵B都是常量矩阵。故应力矩阵S也是一个常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式（2-24），我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推导。一般来说，有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分（functional泛函的函数）。（在力学上就是最小泛解的变分原理）。由于我们尚未解除变分原理且对于弹力问题，用虚功原理推导就可以了。有人证明了用虚功原理推导和用最小泛解的变分原理来推导单刚，对于弹性力学的问题结果是一致的。接受；偏于使用概念直观、清楚；容易虚功原理来推导：力学偏于纯理论研究严密；数学基础扎实；变分原理来推导：推理下面我们用虚功原理来推导三节点三角形单元的单刚。1.单刚的推导（单元是平衡的：对其应用虚功原理）如图所示，三角形单元的节点位移和节点力为：节点位移：Tkkjjiikjievuvuvu节点力：Tykxkyj