贝塞尔函数详细介绍(全面)

数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数第五章贝塞尔函数(bessel)一贝塞尔函数的引出0,20,0),,(20,),,()0,,(0,20,,1122222222ttRuRutRuuuauatu(,,)(,)()utVTtTVaTV22TaTVV22令：02VV2'0TaT(,)()()V011222令：0022(0)2()atTtAe数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数00222n,3,2,1,0nnBnAnnnsincos)0(,0)(,0222RRnx/xd)(dy222,()0,(00)xyxyxnyxRyRyddd)(dxxxyxxyd)(dn阶贝塞尔方程数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程2220xyxyxny02210)(kkckkkcxaxaxaxaaxy0)()()1)((022kkckxanxkckckc0))()1()(02221122022kkckkccxaankcxancxanc0)(022anc0)1(122anc0))(222kkaankc令：cncn10a2(2)kkaaknk135....0aaa二贝塞尔方程的求解n任意实数或复数0n假设数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数)1(210nan01)(dxxeppx)()1(ppp1)1(当p为正整数时!)1(pp当p为负整数或零时)(p)2/1(20(1)()0!(1)2nmmnmxJxnmnm2(2)kkaaknkn阶第一类贝塞尔函数令：22(1)02!(1)mmnmanmnm当n为正整数时(1)()!nmnm20(1)()0,1,2,!()!2nmmnmxJxnmnm20(1)()1,2,!(1)2nmmnmxJxnmnmcn时数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数()cos()()sinnnnJxnJxYxn)()(xBYxAJynn20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnmn阶第一类贝塞尔函数1n不为整数时，贝塞尔方程的通解()nJx()nJx和线性无关()()nnyAJxBJxcotcscAnBnn阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）)()1()(xJxJnnnn为整数时100,1,2(1)(1)mNnmsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn2n为整数时，贝塞尔方程的通解()()nnyAJxBYx数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数0222ynxyxyx20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnmsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn()()nnyAJxBYxA、B为任意常数，n为任意实数数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质1有界性)(xJn)(xYn0x)0(nY性质2奇偶性)()1()(xJxJnnn)()1()(xYxYnnn三贝塞尔函数的性质当n为正整数时数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数2220dd(1)()dd2!(1)mnmnnnmmxxJxxxmnmmnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质3递推性22120(1)222!(1)mnmnmmnmxmnm012122)(!2)1(mmnmnmnmnmxx)(1xJxnn)()()(11xJxxJnxxJxnnnnnn1()()()nnnxJxnJxxJx11()()()nnnnnnxJxnxJxxJx1()()()nnnxJxnJxxJx1d()()dnnnnxJxxJxx1d()()dnnnnxJxxJxx01d()()dJxJxx10d()()dxJxxJxx112()()()nnnnJxJxJxx11()()2()nnnJxJxJx数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数)()(dd1xYxxYxxnnnn)()(dd1xYxxYxxnnnn)(2)()(11xYxnxYxYnnn)(2)()(11xYxYxYnnn1d()()dnnnnxJxxJxx1d()()dnnnnxJxxJxx112()()()nnnnJxJxJxx11()()2()nnnJxJxJx例1求下列微积分0d(1)()dJxx)(0xJ)(1xJ001(2)()()JxJxx)(1)(11xJxxJ)(21)(21)(21)(212020xJxJxJxJ)(2xJ00(3)3()4()JxJx)(4)(311xJxJ)(2)(2)(3201xJxJxJ)()()(2)(33111xJxJxJxJ)(3xJ数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数2(4)()dxJxxxxJxxd)(212)(d112xJxx2111d)()(xxJxxxJxxJxxJd)(2)(11)(d2)(01xJxxJCxJxxJ)(2)(01)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn00(6)()cosdRJxxxRRxxJxxxxJ0000cos)(d|cos)(RxxxJxxJxRRRJ0000dsin)(cos)(cos)(RxxxxJxxxJRRRJ0110dsin)(cos)(cos)(RxxxxJRRRJ010dsin)(cos)(RRRJRRRJsin)(cos)(1030(5)()dxJxx)(d12xxJxxxJxxJxd)(2)(1213)(d2)(2213xJxxJxCxJxxJx)(2)(22131(7)()dnnxJxxαttJαtnnd)(1ttJtnnnd)(112)(d1112tJtnnnCtJtnnn)(121数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质4初值1)0(0J0)0(nJ(0)n)0(nY21)0()0(21)0(201JJJ0)0()0(21)0(11nnnJJJ1n)(2)()(11xJxJxJnnn性质5零点有无穷多个对称分布的零点)(xJn和)(1xJn的零点相间分布)(xJn的零点趋于周期分布，)()(1limnmnmm()()0nnmJ数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnm性质6半奇数阶的贝塞尔函数122102(1)()32!()2mmmxJxmmmmmxmm22102)21(2121221121!)1(mmmmxmm221012)21(12531!2)1(mmmmxm2210122!122)1(2102(1)21!mmmxxmxxsin2xxxJcos2)(21xxxxxxJnnnnsindd12)1()(2121xxxxxxJnnncosdd12)(21)21(210(1)221!mmmxmx数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质7大宗量近似241cos2)(nxxxJn241sin2)(nxxxYn0)(,0)(,xYxJxnn数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数性质8正交性()()222()2()0110,d()(),22nnRmknnnnnmnmmkrJrJrrRRRRJJmk)()()(1xxJxnJxJxnnn1()()()nnnxJxnJxxJx()()()11'()()()nnnnmnmnmJJJ()()0nnmJ()20nRmnrJrdrR贝塞尔函数的模()nmnJrR()1()nmmnmfrAJrR()202()11()d()2nRmmnnnmArfrJrrRRJ数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数例2：证明0212222yxmyxy的解为)(xJxym)()(1xJxxJxymm)()()()(12112xJxxJxxJxxJxymmmm)(1)(2)(212xJxxJxxJxmmm)()()(21)(1)(2)(22221212xJxxmxJxxJxxxJxxJxxJxmmmmmm)()()(222212xJxmxxJxxJxmmm)()()(222222xJmxxJxxJxxmmm)()()(2222tJmttJttJtxmmm0数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数例3：将1在10x区间内展成)()0(0xJi的级数形式1)0(0)(1iiixJC101)0(0)0(010)0(0