一元一次不等式组解题技巧

一元一次不等式组解题技巧一、重点难点提示重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。二、学习指导：1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴找公共解）4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设ab）不等式组的解集数轴表示）（同大型，同大取大）2）（同小型，同小取小）3）（一大一小型，小大之间）4）（比大的大，比小的小空集）无解三、一元一次不等式组的解法例1.解不等式组并将解集标在数轴上分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。步骤：解：解不等式(1)得x（1）分别解不等式组的每解不等式(2)得x≤4一个不等式∴（2）求组的解集（借助数轴找公共部分）（利用数轴确定不等式组的解集）∴原不等式组的解集为x≤（3）写出不等式组解集∴（4）将解集标在数轴上例2.解不等式组解：解不等式(1)得x-1,解不等式(2)得x≤1,解不等式(3)得x2,∴∵在数轴上表示出各个解为：∴原不等式组解集为-1x≤注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。例3.解不等式组解：解不等式(1)得x-1,解不等式(2),∵≤5,∴-5≤x≤5,∴将(3)(4)解在数轴上表示出来如图，∴原不等式组解集为-1x≤∴四、一元一次不等式组的应用。例4.求不等式组的正整数解。步骤：解：解不等式3x-24x-5得：x3,1、先求出不等式组解不等式≤1得x≤2,的解集。∴2、在解集中找出它所要求的特殊解，∴原不等式组解集为x≤正整数解。∴这个不等式组的正整数解1、2。例5．m为何整数时，方程组的解是非负数？分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x,y,再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。解：解方程组得∵方程组的解是非负数，∴即解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤,又∵m为整数，∴m=3或m=4。例6．解不等式0.分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1)或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。解：∵0,∴或(2)由(1)∴无解，由(2)∴∴原不等式的解为-x.例7.解不等式-3≤3x-15.解法（1）:原不等式相当于不等式组解不等式组得-≤，∴原不等式解集为-≤解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x6,将这个不等式的两边和中间都除以3得，-≤∴原不等式解集为-≤例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。分析：(1)“不小于6”即≥6,(2)由题意转化成不等式问题解决，解：由题意可得，6≤-8,将不等式转化为不等式组，∴∴解不等式(1)得x≤解不等式(2)得x-,∴∴原不等式组解集为-x≤∴-x≤6的整数解为x=±3,±2,±1,0,4,5,6.∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：20原两位数40。解法（1）:设十位上的数为x,则个位上的数为(x+2),原两位数为10x+(x+2),由题意可得：2010x+(x+2)40,解这个不等式得，1x3,∵x为正整数，∴1x3的整数为x=2或x=3，∴当x=2时，∴当x=3时，∴10x+(x+2)=35,答：这个两位数为24或35。解法（2）:设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。将(1)代入(2)得，2011x+240,解不等式得：1x3,∵x为正整数，1x3的整数为x=2或x=3,∴当x=2时，y=4，∴当x=3时，y=5,∴答：这个两位数为24或35。解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2或3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。例10.解下列不等式：(1)||≤(2)0;(3)(3x-6)(2x-1)0.（1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|x|a,(a0)可知-axa,将其转化为；若|x|a,(a0)则xa或x-a.解：||≤-4≤≤4,∴由绝对值的定义可转化为：即解不等式(1)，去分母：3x-1≥解不等式(2)去分母：3x-1≤8,移项：3x≥移项：3x≤8+1,合并同类项：3x≥合并同类项：3x≤9,系数化为1，∴≥-,系数化为1：∴x≤3,∴，∴原不等式的解集为-≤≤3.（2）分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。解：∵0,∴3x-6与2x+1异号，即：I或II解I的不等式组得,∴不等式组无解，解II的不等式组得,∴不等式组的解集为-x2,∴原不等式的解集为-x2.（3）分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式，右边是零。它可以理解为“当x取何值时，两个一次式的积是正数？”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为正值。因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。解：∵(3x-6)(2x+1)0,∴(3x-6)与(2x+1)同号，即I或II解I的不等式组得,∴不等式组的解集为x2,解II的不等式组得,∴不等式组的解集为x-,∴原不等式的解集为x2或x-.说明：ab0(或0)与ab0（或0）这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。这类问题一般转化如下：（1）ab0(或0),∴、b同号，即I或II,再分别解不等式组I和II，如例10的（3）题。（2）ab0（或0）,∵ab0(或0),∴、b异号，即I或II,再分别解不等式组I和不等式组II。例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式-1,并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-的值。分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a3-即可。解：∵整数x满足3x-4≤和-1,∴x为，解集的整数值，解不等式(1)，得x≥-,解不等式(2)得，x1,∴的解集为-≤∴-≤x1的整数x为x=0,又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2,∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中,∴∴a=1,当a=1时，5a3-=5×13-=4,答：代数式5a3-的值为4.。测试选择题1．解下列不等式组,结果正确的是（）A、不等式组的解集是x3B、不等式组的解集是-3x-2C、不等式组的解集是x-1D、不等式组的解集是-4x22．不等式组的解集是（）A、x1B、x3C、x1或x3D、1x33．不等式组的解集是（）A、x1B、x1C、x2D、无解4．如果不等式组有解，那么m的取值范围是：（）A、m8B、m≥8C、m8D、m≤85．使两个代数式x-1与x-2的值的符号相同的x取值范围是（）A、x2B、x1C、x1或x2D、x1或x2答案与解析答案：1、D2、D3、D4、C5、C解析：2.分析：由（1）得x3，由（2）得x1∴1x3答案：D3.分析：先解不等式，看是否有解，由（1）得x1，由（2）得x2，两者无公共部分，所以选D。答案：D5.因x-1与x-2的值的符号相同，所以或可求得x2或x1.所以选C.注：比较简单，应该全部正确。一元一次不等式和它的解法考点扫描:1．了解一元一次不等式的概念．2．会用不等式的基本性质解一元一次不等式．名师精讲:一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫一元一次不等式．其标准形式是：ax+b0或ax+b0（a≠0）．1．一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为axb或axb，其中x是未知数，a、b是已知数且a≠0。2．一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，基本思想是化为最简形式（axb或axba≠）后，再把系数化为1。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变．中考典例:1．解不等式–(x–1)1，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：一元一次不等式的解法评析：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质3的运用．该题可先去分母（不要漏乘），再去括号，然后化成ax＞b或axb的形式,最后得出解集，解题过程如下：解：原不等式化为：x–2–2(x–1)2x–2–2x+22即：-ｘ＜2∴x–2．它在数轴上表示为：2．（河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了________________道题．考点：一元一次不等式的应用评析：可设选对了x道，那么选错或不选的共有（25–x）道题。根据题意，可以列不等式为4x–2(25–x)≥60，解不等式得ｘ≥18，取解集中的最小整数为19．说明：列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义．3．商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？考点：一元一次不等式的应用评析：列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未知数．消费者要买A型冰箱，10年的花费用比B型少才行，设打x折，那么A型10年的费用为2190×+365×10×1×0.40，B型10年的费用为2190×（1+10%）+365×10×0.55×0.40，根据题意得不等式2190×+365×10×1×0.40≤×(1+10%)+365×10×0.55×0.40解得x8，所以至少打八折，