向量在几何中的应用

唐山师范学院本科毕业论文题目向量在解析几何中的应用学生张红阳指导教师孟令江副教授年级10数本2班专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳2014年4月31日目录标题.....................................................................1中文摘要.................................................................11引言...................................................................12预备知识...............................................................12.1向量的概念........................................................12.2向量的运算........................................................12.2.1向量的加法...................................................12.2.2向量的减法...................................................12.2.3数量乘向量...................................................12.2.4两向量的数量积...............................................12.2.5两向量的向量积...............................................12.2.6三向量的混合积...............................................22.2.7法向量的有关概念.............................................22.2.8线性相关定义.................................................23向量在立体几何中的应用.................................................23.1向量在立体几何中的证明............................................23.1.1向量在立体几何中的简单证明.....................................23.1.2证明两直线平行.................................................33.1.3证明线面平行...................................................43.1.4证明面面平行...................................................63.1.5证明两直线垂直.................................................73.1.6证明线面垂直...................................................83.1.7证明面面垂直...................................................93.2向量在几何中的计算...............................................103.2.1距离..........................................................103.2.1.1两点间的距离...............................................103.2.1.2点到直线的距离.............................................113.2.1.3点面距离...................................................113.2.1.4异面直线的距离.............................................123.2.2夹角..........................................................123.2.2.1两异面直线的夹角...........................................123.2.2.2线面角.....................................................133.2.2.3二面角.....................................................143.2.3求面积........................................................163.2.4求体积........................................................17参考文献：..............................................................18致谢..................................................................19外文页..................................................................201向量在解析几何中的应用张红阳摘要本文研究向量在解析几何中的应用，其中有证明和计算。通过用空间向量解决立体几何中的这些问题，揭示了向量在向量在解析几何中的重要作用，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，，使解题变得简单化、程序化。关键字向量立体几何平行垂直1引言向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。它具有丰富的实际背景和广泛的应用。特别对于它解决几何的有关问题时更能体现数学的简易美。向量的引入给数学的解题注入了新的活力，尤其是空间向量的引入对立体几何的解题可谓是革命性的。在空间直角坐标系中，立体几何里的线面平行、垂直论证、角度、距离的计算等问题的解决，都与向量有着密切的关系。2预备知识2.1向量的概念定义1:既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。定义2:空间或平面的有向线段叫做矢量或向量。2.2向量的运算2.2.1向量的加法设已知向量a,b,空间任意一点O为十点接连作向量OA=a,AB=b,得一折线的端点O，到另一端点B的向量OB=c,叫做两向量a与b的和，记作c=a+b。2.2.2向量的减法当向量b与c向量的和等于向量a,即c=a-b,由两向量a与b求它们的差a-b的运算叫做向量减法。2.2.3数量乘向量实数与向量a的乘积是一个向量，记作a，它的模是aa；a的方向，当0时与a的方向相同,当0时与a的方向相反。我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。2.2.4两向量的数量积两向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量a向量b的数量积（也称内积），叫做ba或ab，即bababa,cos2.2.5两向量的向量积a与b的向量积（也称外积）是一个向量，记作ab或者[ab]，它的模是2bababa,sin,它的方向与a和b都垂直。2.2.6三向量的混合积给定空间的三个向量a，b，c，如果先作前两个向量a与b的向量积，再作所得的向量与第三个向量c的数量积，最后得到的这个数叫做三向量a，b，c的混合积，记作cba或cba,,或cba。2.2.7法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。2.2.8线性相关定义对于n（n1）个向量1a，2a,,na,如果存在不全为0的n个数1，2，，n使得11a+22a++nna=0，那么n个向量1a，2a,,na叫做线性相关。3向量在立体几何中的应用3.1向量在立体几何中的证明3.1.1向量在立体几何中的简单证明例1设互不共线的三向量a,b与c,试证明顺次将它们的始点与终点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。证明：必要性设三个向量a,b,c可以构成三角形ABC，即有AB=a，BC=b,CA=c,(下图)，那么AB+BC+CA=0，即a+b+c=0。充分性设a+b+c=0，作AB=a，BC=b，那么AC=a+b,所以AC+c=0，从而c是AC的反向量，因此c=CA，所以a，b，c可构成一个三角形ABC。例2用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明：设四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点且互相平分（下图），从图可以看出：ABAOOBOCDOOCDODC,因此，AB//DC且|AB|=|DC|，即四边形ABCD为平行四边形。BAC33.1.2证明两直线平行两直线平行即两直线共线。两向量共线的充要条件是它们线性相关。例3设3,2,1irOPii，试证321,,PPP三点共线的充要条件是存在不全为零的实数321,,使0,0321332211且rrr证明：如上图，.,131331211221rrOPOPPPrrOPOPPP设321,,PPP三点共线，即3121,PPPP共线，所以存在不全为零的数nm,使03121PPnPPm,即0)()(1321rrnrrm。由此得0)(321rnrmrnm因为nm,不全为零，所以nmnm,,不全为零，且0)()()(nmnm令nmnm321,,，且0321。反过来，设有不全为零的数321,,，使0,0321332211且rrr则)(321因为0332211rrr，即0)(3322132rrr整理得0)()(133122rrrrBCAOD2r3r2P3P1PO1r4即0313212PPPP因为321,,不全为零，所以32,必不全为零。所以321,,PPP三点共线。例4已知直线OA平面，直线BD平面，BO、为垂足，求证：BDOA//.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.证明：如上图，以点O为原点，以射线OA为z轴，建立空间直角坐标系xyzO，i，j，k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设111,,zyxBD，2,0,0zOA∵BD，∴jBDiBD,∴00,0,1,,1111xzyxiBD，00,1,0,,1111yzyxjBD，∴1,0,0zBD∴kzBD1，又kzOA2，且BO、为两个不同的点，∴OABD//.3.1.3证明线面平行1、已知面外的直线a的方向向量为a，21,ee是平面的一组基底（不共线的向量），若//2211aeea。2、已知面外的直线a的方向向量为a，平面的法向量是n，则若//0ana