2020版高考数学大一轮复习第7章不等式第3讲基本不等式课件理

第3讲基本不等式第七章不等式考情精解读A考点帮·知识全通关目录CONTENTS命题规律聚焦核心素养考点1基本不等式考点2基本不等式与最值考法1利用基本不等式求最值考法2利用基本不等式解决实际问题考法3利用基本不等式证明不等式B考法帮·题型全突破C方法帮·素养大提升易错忽略应用基本不等式的前提条件致误考情精解读命题规律聚焦核心素养考点内容考纲要求考题取样对应考法1.基本不等式理解2018天津,T13考法12.基本不等式的应用掌握2017江苏,T10考法2命题规律1.命题分析预测本讲是高考的热点,主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等,常与函数结合命题,解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.2.学科核心素养本讲通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算素养.聚焦核心素养A考点帮·知识全通关考点1基本不等式考点2基本不等式与最值考点1基本不等式1.基本不等式如果a0,b0,那么𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2,当且仅当a=b时,等号成立.其中,𝑎+𝑏2叫作a,b的算术平均数,𝑎𝑏叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个常用的重要结论(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).(2)a+b≥2𝑎𝑏(a0,b0,当且仅当a=b时取等号).(3)ab≤(𝑎+𝑏2)2(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).(4)a+1𝑎≥2(a0,当且仅当a=1时取等号);a+1𝑎≤-2(a0,当且仅当a=-1时取等号).(5)𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2(a,b同号且不为0,当且仅当a=b时取等号).(6)2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2≤𝑎2+𝑏22(a0,b0,当且仅当a=b时取等号).注意在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.考点2基本不等式与最值最值定理:已知x0,y0.(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值𝑆24(简记:和定积最大);(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2𝑝(简记:积定和最小).注意(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.B考法帮·题型全突破理科数学第七章：不等式考法1利用基本不等式求最值考法2利用基本不等式解决实际问题考法3利用基本不等式证明不等式考法1利用基本不等式求最值1.代数式最值的求解示例1(1)[2018辽宁两校联考]已知ab0,则a+4𝑎+𝑏+1𝑎−𝑏的最小值为A.3102B.4C.23D.32(2)设0x32,则函数y=4x(3-2x)的最大值为.思维导引(1)观察式子结构特征→将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值(2)观察式子结构特征→拼系数,凑出和为定值的形式→利用基本不等式求最值解析(1)因为a=12[(a+b)+(a-b)],所以a+4𝑎+𝑏+1𝑎−𝑏=12(a+b)+4𝑎+𝑏+12(a-b)+1𝑎−𝑏.(变形凑成积为定值)因为ab0,所以a+b0,a-b0.由基本不等式可12(a+b)+4𝑎+𝑏≥212(a+b)+4𝑎+𝑏=22①,当且仅当12(a+b)=4𝑎+𝑏即a+b=22时,等号成立;12(a-b)+1𝑎−𝑏≥212(a−b)+1𝑎−𝑏=2②,当且仅当12(a−b)=1𝑎−𝑏即a-b=2时,等号成立.由𝑎+𝑏=22𝑎−𝑏=2解得𝑎=322𝑏=22(检验等号成立的条件)所以当𝑎=322𝑏=22时,①②中的等号同时成立.故a+4𝑎+𝑏+1𝑎−𝑏的最小值为22+2=32.故选D.(2)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[2𝑥+(3−2𝑥)2]2=92,当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立.因为34∈(0,32),所以函数y=4x(3-2x)(0x32)的最大值为92.方法总结代数式最值的求解方法——拼凑法拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.注意注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.2.条件最值的求解示例2若直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),则1𝑚+2𝑛的最小值为A.2B.6C.12D.3+22思维导引把点的坐标代入直线的方程得m与n的关系式→把1𝑚+2𝑛变换后进行“1”的代换→利用基本不等式求最值解析因为直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,所以1𝑚+2𝑛=(1𝑚+2𝑛)(m+n)=3+𝑛𝑚+2𝑚𝑛≥3+22,(运用“1”的代换求解)当且仅当𝑛𝑚=2𝑚𝑛,即n=2m时取等号,所以1𝑚+2𝑛的最小值为3+22.答案D方法总结条件最值的求解方法——常数代换法1.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);(2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值.2.常数代换法求最值适用的题型及解题通法当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by)(𝑚𝑥+𝑛𝑦)(a,b,m,n为常数)的形式,利用(ax+by)(𝑚𝑥+𝑛𝑦)=am+bn+𝑏𝑚𝑦𝑥+𝑎𝑛𝑥𝑦≥am+bn+2𝑎𝑏𝑚𝑛(当且仅当𝑏𝑚𝑦𝑥=𝑎𝑛𝑥𝑦时等号成立)得到结果.3.常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形,确定或分离出常数是基础;(2)已知等式化成“1”的表达式,是代数式等价变形的关键;(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件.归纳总结利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值的形式.变换的过程中常用的方法还有消元法(常用于多元问题)和整体代换法.拓展变式1[2018山东、湖北部分重点中学冲刺模拟]已知D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),且满足𝐴𝑀=α𝐴𝐵+β𝐴𝐶,则1𝛼+2𝛽的最小值为()A.42B.8C.6-42D.6+42解析1.D由于M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),D,E分别是AB,AC的中点,所以𝐴𝑀=α𝐴𝐵+β𝐴𝐶=2α𝐴𝐷+2β𝐴𝐸,所以α,β0且2α+2β=1.解法一由2α+2β=1,得β=1−2𝛼2.由β0,得0α12,所以1𝛼+2𝛽=1𝛼+21−2𝛼2=1𝛼+41−2𝛼=1−2𝛼+4𝛼𝛼(1−2𝛼)=1+2𝛼𝛼(1−2𝛼).令t=1+2α,则t∈(1,2),所以1+2𝛼𝛼(1−2𝛼)=𝑡𝑡−12(2−t)=2𝑡(𝑡−1)(2−𝑡)=2𝑡−𝑡2+3𝑡−2=2−(2𝑡+𝑡)+3.由基本不等式可得2𝑡+t≥22(当且仅当2𝑡=t,即t=2时等号成立).又t∈(1,2),所以2𝑡+t3.所以0-(2𝑡+t)+3≤3-22,故2−(2𝑡+𝑡)+3≥23−22=6+42.所以1𝛼+2𝛽的最小值为6+42.选D.解法二1𝛼+2𝛽=(1𝛼+2𝛽)(2α+2β)=6+2𝛽𝛼+4𝛼𝛽≥6+42(当且仅当α=2−12,β=2−22时取等号).故1𝛼+2𝛽的最小值为6+42.选D.【解后反思】该题由已知得到2α+2β=1之后,解法一利用了“消元代换法”,即将问题转化为一个变元的问题求解,然后通过换元变形构造基本不等式求解最值;而解法二则是利用常数“1”的代换,将目标代数式进行等价变形整理得到“积为常数”的形式,从而利用基本不等式求解最值.考法2利用基本不等式解决实际问题示例3经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-𝑘𝑚+1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?思维导引题中信息对接方法销售量、促销费用由题中信息确定k值,进而明确两者关系.销售价格、成本售价、成本用销售量x与促销费用m表示,构建关于m的关系式.利润最大利用基本不等式求解.解析(1)由题意可知,当m=0时,x=1,∴1=3-k,解得k=2,即x=3-2𝑚+1,(代值定参数)每1万件产品的销售价格为1.5×8+16𝑥𝑥(万元),∴2018年的利润y=x(1.5×8+16𝑥𝑥)-(8+16x+m)(建模,利润=总收入-总投入)=4+8x-m=4+8(3-2𝑚+1)-m=28-16𝑚+1-m(m≥0).∴y与m之间的函数关系式是y=28-16𝑚+1-m(m≥0).(2)由(1)知y=-[16𝑚+1+(m+1)]+29(m≥0).∵当m≥0时,16𝑚+1+(m+1)≥216𝑚+1·(𝑚+1)=8,(利用基本不等式求最值)当且仅当16𝑚+1=m+1,即m=3时取等号.∴y≤-8+29=21,即当m=3时,y取得最大值,为21.∴当该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.感悟升华应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值;(3)还原为实际问题,写出答案.注意(1)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内,则不能使用基本不等式求解,此时应根据变量的取值范围利用对应函数的单调性求解.(2)注意某些实际问题中的隐含条件,如变量为整数,单位换算等.拓展变式2随着社会的发展,汽车逐步成为人们的代步工具,家庭轿车的持有量逐年上升,交通堵塞现象时有发生,据调查某段公路在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有函数关系:y=900𝑉𝑉2+8𝑉+1600(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量约为多少?(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?解析2.(1)由题意知,v0,则y=900𝑣𝑣2+8𝑣+1600=900𝑣+1600𝑣+8≤90080+8=90088=22522,当且仅当v=1600𝑣,即v=40时取等号.所以ymax=22522≈10.23.故当v=40时,车流量y最大,最大约为10.23千辆/时.(2)由y=900𝑣𝑣2+8v+1600≥10,得90𝑣𝑣2+8v+1600≥1,即90v≥v2+8v+1600,整理得v2-82v+1600≤0,即(v-32)(v-50)≤0,解得32≤v≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时.考法3利用基本不等式证明不等式示例4(1)已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c);(2)设a,b均为正实数,求证:1𝑎2+1𝑏2+ab≥22.解析(1)∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,当且仅当a4=b4=c4时取等号,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a