求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：xbxaycossin)sin(22xba化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512yx，xxycossin（3）函数xxycos3sin在区间[0,]2上的最小值为1．（4）函数tan()2yx(44x且0)x的值域是(,1][1,)（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。（2）函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于43．（3）.当20x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为4．（4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1．（5）.若2，则cos6siny的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例1：求函数sincos2xyx的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33[,]33。解法2：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，∴22sin()1yxy由2|2||sin()|11yxy22(2)1yy，解得：3333y，故值域是33[,]33解法3：利用万能公式求解：由万能公式212sinttx，221cos1txt，代入sincos2xyx得到2213tyt则有2320ytty知：当0t，则0y，满足条件；当0t，由24120y△，3333y，故所求函数的值域是33[,]33。解法4：利用重要不等式求解：由万能公式212sinttx，221cos1txt，代入sincos2xyx得到2213tyt当0t时，则0y，满足条件；当0t时，22113(3)ytttt，如果t0，则2223113233(3)ytttt，xQPyO此时即有303y；如果t0，则223131()(3)2()(3)ytttt，此时有303y。综上：此函数的值域是33[,]33。例2.求函数2cos(0)sinxyxx的最小值．解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sincos2(0)yxxx，得21sin()2yx，即22sin()1xy，故2211y，解得3y或3y（舍），所以y的最小值为3．解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos(0)sinxyxx表示的是点(0,2)A与(sin,cos)Bxx连线的斜率，其中点B在左半圆221(0)aba上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时3ABk，所以y的最小值为3．（四）换元法代数换元法代换：xxxxycossincossin令：ttytxx21,cossin2则再用配方.例题：求函数sincossincosyxxxx的最大值．解：设sincosxxt(22)t，则21sincos2txx，则21122ytt，当2t时，y有最大值为122．（五）降幂法型如)0(cossinsin2acxxbxay型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为sin2cos2yAxBx型再利用辅助角公式求出最值。例1：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时x的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。解：由降幂公式和倍角公式，得xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x∵2474x，∴436232x，∴21)62cos(22x∴()fx的最小值为2233，此时247x，()fx无最大值。例2.已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（I）求()fx的最大值和最小值；（II）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sincosaxbx形式．解：（Ⅰ）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx∵π12sin23x．又ππ42x，∵，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3()2fxfx，∴．（Ⅱ）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ42x，，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(14)，．典型应用题例题：扇形AOB的半径为1，中心角为60，PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量AOPx，建立目标函数．解：连接OP，设AOPx，则sinPSx，cosOSx，3cossin3RSxx．333(cossin)sinsin(2)3366Sxxxx，03x，所以当6x时，P在圆弧中心位置，max36S．点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．（六）条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）例1.已知1sinsin3xy，求2sincosyx的最大值与最小值．分析：可化为二次函数求最值问题．ABORSPQ解：（1）由已知得：1sinsin3yx，sin[1,1]y，则2sin[,1]3x．22111sincos(sin)212yxx，当1sin2x时，2sincosyx有最小值1112；当2sin3x时，2sincosyx有最小值49．例2：已知sin2sin2sin322，求22sinsiny的取值范围。分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sinα，sinβ的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解：∵sin2sin2sin322，∴sinsin23sin22∵1sin02∴32sin01sinsin230sinsin2322解得∵21)1(sin21sinsin21sinsin2222y∵32sin0。∴sinα=0时，0miny；32sin时，94maxy∴94sinsin022。例3：求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：∵定义域为0≤x≤1，可设xx2cos且2022sincos11x，20∴)4sin(2cossinsincos22y∵20，∴4344，∴1)4sin(22即21y∴当44或434，即θ=0或2（此时x=1或x=0），y=1；当2，即4时，（此时21x），2y，当x=0或x=1时，y有最小值1；当21x时，y有最大值2。评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2Rxxxy的最小值等于____－1_______．2．已知函数()3sinfxx，3()sin()2gxx，直线mx和它们分别交于M，N，则maxMN_________．3．当04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是______4_______．4．函数sincos2xyx的最大值为_______，最小值为________.5．函数costanyxx的值域为.6．已知函数11()(sincos)|sincos|22fxxxxx，则()fx的值域是.7．已知函数()2sin(0)fxx在区间,34上的最小值是2，则的最小值等于_________．328．（1）已知(0,)，函数23sin13siny的最大值是_______.（2）已知(0,)x，函数2sinsinyxx的最小值是____3___.9．在△OAB中，O为坐标原点，]2,0(),1,(sin),cos,1(BA，则当△OAB的面积达最大值时，_____________．10．已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．2123333(1,1)22[,]2210（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）π()2cos(sincos)1sin2cos22sin24fxxxxxxx．因此，函数()fx的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()2sin24fxx在区间π3π88，上为增函数，在区间3π3π84，上为减函数，又π08f，3π28f，3π3πππ2sin2cos14244f，故函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为1．解法二：作函数π()2sin24fxx在长度为一个周期的区间π9π84，上的图象如下：间π3π84，上由图象得函数()fx在区的最大值为2，最小值为3π14f．yxO2211．若函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf的最大值为32，试确定常数a的值.解：)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax因为)(xf的最大值为)4sin(,32x的最大值为1，则,3222a所以,3a12．已知函数2()2sinsin2fxxx．（1）若[0,2]x．求使()fx为正值的x的集合；（2）若关于x的方程2[()]()0fxfxa在[0,]4内有实根，求实数a的取值范围.解：（1）∵()1cos2sin2fxxx12sin(2)4x()012sin(2)04fxx2sin(2)42x5222444kxk34kxk又[0,2].x∴37(0,)(,)44x（2）当[0,]4x时，2,444