《定积分与微积分的基本定理》

第4讲定积分与微积分的基本定理★知识梳理★1、定积分概念定积分定义：如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb，将区间[,]ab等分成几个小区间，在每一个小区间1[,]iixx上任取一点(1,2,,)iin，作和1()()niiibafxifn，当n时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作1[,]iixx()bafxdx，即1()lim()nbainibafxdxfn，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,]ab叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()fxdx叫做被积式.2、定积分性质（1）()()bbaakfxdxkfxdx；（2）1212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（3）()()()()cbbacafxdxfxdxfxdxacb3、微积分基本定理一般地，如果()fx是在[,]ab上有定义的连续函数，()fx是在[,]ab上可微，并且'()()Fxfx，则()()()bafxdxFbFa，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把()()FbFa，记作()|baFx，即()()|()()bbaafxdxFxFbFa.4．、常见求定积分的公式（1）11|(1)1bnnbaaxdxxnn（2）|bbaacdxcx（C为常数）（3）sincos|bbaaxdxx（4）cossin|bbaaxdxx（5）1ln|(0)bbaadxxbax（6）|bxxbaaedxe（7）|(01)lnxbxbaaaadxaaa且★热点考点题型探析★考点1:定积分的计算题型1.计算常见函数的定积分例1.求下列定积分（1）330xdx（2）0sinxdx（3）201dxx【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为2x，sinx，1x的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.解：（1）321()3xx32333300111|309333xdxxx（2）(cos)sinxx00sincos|coscos02xdxx（3）22111ln|ln2ln1ln22dxx【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.题型2:换元法求定积分例2.计算:220sin2xdx【解题思路】：我们要直接求2sin2x的原函数比较困难，但我们可以将2sin2x先变式化为1cos11cos222xx，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.解析：22222220000001cos1111sincos|sin|222222xxdxdxdxxdxxx11110sinsin04222242【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.题型3:计算分段函数定积分例3.求31ln||eexdxx【解题思路】：3ln||xx首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数3lnx与1x的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间1[,]ee分段，再换元积分或奏变量完成.解析：333ln11ln||ln1xxxxexxxex333111lnlnln||()eeeeexxxdxdxdxxxx43lnln()4xxx344111lnlnln||||44eeeeexxxdxx44441lnln1lnln14444ee12【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中3311lnlnlneexdxxdxx，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.题型4:定积分的逆运算例4.已知120()(124),()[()3]xafxtadtFafxadx求函数()Fa的最小值.【解题思路】：这里函数()fx、()Fx都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出()fx与()Fx，再用导数求法求出()Fa的最小值.解析：()(124)xafxtadt222222(64)|64(64)642xatatxaxxaxaa1212200()[()3](64)Fafxaxaxadx32213220(22)|2.12.1.1xaxaxxaa222aa2(1)11a当1a时，()Fa最小=1当1a时，()Fa最小=1【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数a混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系.积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。【新题导练】.1．(广东省揭阳二中2010届高三上学期期中考试)计算：22(sin2)xdx解析:82..设2(01)()2(12)xxfxxx则20()fxdx=（）A.34B.45C.56D.不存在解析2122322200111115()(2)|(2)|326fxdxxdxxdxxxx选C考点2:定积分的应用题型1.求平面区域的面积例1求在[0,2]上，由x轴及正弦曲线sinyx围成的图形的面积.【解题思路】：因为在[0,]上，sin0x，其图象在x轴上方；在[0,2]上，sin0x其图象在x轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.解析：作出sinyx在[0,2]上的图象如右sinyx与x轴交于0、、2，所求积2200sin|sin|(cos)|(cos)|4sxdxxdxxx【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积题型2.物理方面的应用例2.汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个xy0Л2Л过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意，054v千米/时米/秒0()153vtvatt，令()0vt得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为55250003()(153)(15)|37.5()0.03752svtdtvtdttt米公里答：汽车走了0.0373公里.【名师指引】若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为()(()0)vvtvt，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在[,]ab时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程()basvtdt；如果()0()vtatb时，则路程()basvtdt.★抢分频道★基础巩固训练1.（2010年广东北江中学高三第二次月考）620(1)xdx=33606:()|67833xx解析原式2.(2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题)1(2)exedxx．1111222:2|ln|ln2ln2ln2xeexeeeedxdxexex解析原式3.221xxdx=220212221101222303132101:||()()()11111()|()|()|3223326xxdxxxdxxxdxxxdxxxxxxx解析4.已知221,[2,2]()1,(2,4]xxfxxx,当k=时,340()3kfxdx.恒成立tvaboV=v(t)333323332222322:2322:(1)2340()(1)()(39)()333,340340(1)(4)01231(2)22()(21)(1)kkkkkkkxkfxdxxdxxkkkkkkkkkkkkkkfxdxxdxxdx解析分和两种情况讨论当时整理得即又舍去当时332232222()()384040(42)()(39)(2)()3330,01.,01kkxxxxkkkkkkkkkk即或综上所述或5.求曲线2yx，yx及2yx所围成的平面图形的面积.思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间[0,1]上，2yx，yx及2x围成，第一部分在[1,2]上由2x与2yx围成，所以所求面积应为两部分面积之和.解：作出2yx，yx及2yx的图如右解方程组22yxyx得24xy00xy解方程组2yxyx得11xy00xy所求面积12201(2)(2)sxxdxxxdx12201(2)xdxxxdx212320111|()|23xxx76答：此平面图形的面积为76综合拔高训练6.设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.yox12y=xB(2,4)y=2xy=x2A(1,1)（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201xxxdxxx.（3）依题意，有xxxxxxttd)12(d)12(2021，∴023123|)31(|)31(ttxxxxxx，－31t3+t2－t+31=31t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2（t－1）3=－1，于是t=1－321.7.抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．．解依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以320261)(badxbxaxSab(1)又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组bxaxyyx24得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．于是,)1(1612ba代入（1）式得：)0(,)1(6128)(43bbbbS，52)1(3)3(128)(bbbbS；令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且29maxS．8.设直线yax(1)a与抛物线2yx所围成的图形面积为S,它们与直线1x围成的面积为T,若U=S+T达到最小值,求a值;并求此时平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积.1ay=x2y=axy=axy=x21