2018年考研数学三真题及解析

2018年考研数学三真题及答案一、选择题1.下列函数中,在 0x处不可导的是().sinAfxxx.sinBfxxx.?Cfxcosx.cosDfxx答案: D解析:方法一:000sin0limlimlimsin0,xxxxxxfxfxxxxA可导000sin0limlimlimsin0,xxxxxxfxfxxxxB可导20001cos102limlimlim0,xxxxxfxfxxCx可导0001cos102limlimlimxxxxxffxxxDx不存在,不可导应选D.方法二:因为,(1)0fcosxfx0001cos102limlimlimxxxxxfxfxxx不存在fx在0x处不可导,选D对:?Afxxsinx在 0x处可导对32:~?Bfxxxx在 0x处可导对():xxCfcos在 0x处可导.2.设函数fx在[0,1]上二阶可导,且100,fxdx则1'0,02Afxf当时1''0,02Bfxf当时1'0,02Cfxf当时1''0,02Dfxf当时答案D【解析】将函数fx在12处展开可得222111000''1111',22222''1111111''',22222222ffxffxxffxdxffxxdxffxdx故当''()0fx时,1011.0.22fxdxff从而有选D。3.设2222222211,,1cos1xxxMdxNdxKxdxxe,则A.? .MNKB..MKNC..KMND..KNM答案: C解析:2222222221211,11xxMdxdxdxxx221xxNdxe,因为1xex所以11xxe221cos,1cos1.Kxdxx即111cosxxxe所以由定积分的比较性质 KMN,应选C.4.设某产品的成本函数CQ可导,其中Q为产量,若产量为0Q时平均成本最小,则()A0'0CQ B00'CQCQC.000'CQQCQD.000'QCQCQ答案D【解析】平均成本2',CQdCQCQQCQCQQdQQ,由于CQ在0QQ处取最小值,可知00'0.QCQ故选(D).5.下列矩阵中,与矩阵110011001相似的为111.011001A101.011001B111.010001C101.010001D答案: A解析:令110010001P则1110010001P1110111110010011010001001001120110110011010011001001001PAP选项为A6.设,AB为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,XY表示分块矩阵,则.?ArAABrA.?BrABArA.? ,CrABmaxrArB.? TTDrABrAB答案:A解析:易知选项C错对于选项B举反例:取11001112AB1则001100,,331133BAABA7.设随机变量X的概率密度fx满足11fxfx，且200.6fxdx，则0______PX．(A)0.2；(B)0.3；(C)0.4；(D)0.6．解由11fxfx知，概率密度fx关于1x对称，故02PXPX，且00221PXPXPX，由于20020.6PXfxdx，所以200.4PX，即00.2PX，故选项A正确．8.设12,,,nXXX为取自于总体2,XN的简单随机样本，令niiXnX11，2111()1niiSXXn，2211()niiSXXn，则下列选项正确的是______．(A)nXtnS；(B)1nXtnS；(C)*nXtnS；(D)*1nXtnS．解由于~0,1XNn，)1(~)()1(221222nXXSnnii，且Xn与22(1)nS相互独立，由t分布的定义，得~(1)nXXtnSSn，故选项B正确．二、填空题9.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为__。答案43yx【解析】函数fx的定义域为232240,,'2,''2,'''yxyyxxx。令''=0y,解得x=1,而'''10,y故点(1,1)为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率'14,y故切线方程为43yx。10.2arcsin1__.xxee222222222222arcsin11,1=arcsin1arcsin1111arcsin1tansin111arcsin11xxxxxxxeeeCttdttttdttttttdtttCteeeC答案【解析】令t=e则原式11.差分方程25xxyy的通解______.【答案】125xxyc2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111==22=5,2525,2,-2=5,=-52xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyyycyccccyc【解析】由于，故原差分方程可化为即。设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分方程的通解为5,c为任意常数。12.函数x满足20,xxxxxxxx且02,则1__.答案12.e【解析】2,,'=2xxxxxxxxx由可知可微且。这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为2;xxce再由02,可得2c。故22,12xxee。13.设A为3阶矩阵,123,,为线性无关的向量组,若112322332322,AAA，,可得123123200,,,,111121A。由于123,,线性无关,故200111121A=B，从而有相同的特征值。因2200111223,121EB故A的实特征值为2。14.设随机事件,,ABC相互独立，且1()()()2PAPBPC，则()______PACAB．解由条件概率以及事件相互独立性的定义，得()()()()()()()()()11122.111132222PACABPACABPABPACPAPBPABPAPCPAPBPAPB三、解答题15.已知实数,ab,满足1lim2,xxaxbex求a,b。答案1,1ab【解析】011,lim2,ttabtetxt令=可得0000111limlimlimlimttttttttabteaeaebebttt其中可知0011lim2,lim,1ttttaeaebatt而要使得存在必须有。01,lim=1=2,1.,1,1ttaebbtab此时有故综上。16.设平面区域D由曲线231yx与直线3yx及y轴围成。计算二重积分2Dxdy。答案32.32【解析】2223122222030313xxIdxxdyxxxdx222232200222202224400313,31,sin,3333sincossin2288432xxdxxdxxxdxxtttdttdt其中对于令可化为而23420211333224163216320xdxx，综上I=。17.将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段分别为,,,xyz则有2xyz及x,y,z0，圆的面积为222222123222113113=,==++41636416361132,++41636SxSySzxyzxyzxyz，正方形的面积为正三角形的面积为，总面积为S，则问题转化为在条件x,y,z0下,求函数的最小值。令222113++2,41636xyzxyzL=2=02323439=0883,34393=018183439=203+12+93,3439LxxxLyyyLzzxLxyz则有解得唯一条件极值点为，在该点的函数值即为最小值最小值为18.已知201cos211,.1nnnnxaxxax求答案222112222,0,1,2,;nnannn22212121212121,0,1,2,2!2!nnnnnnannnnn。【解析】1-21+x将cos2x与展成幂级数可得222001200212cos21,,2!2!11'111,1111nnnnnnnnnnnnnxxxxxnnxnxxxx则222112222,0,1,2,;nnannn22212121212121,0,1,2,2!2!nnnnnnannnnn。19.设数列nX满足:110,11,2,.nnxxnxxeen证明nX收敛,并求lim.nnx证明:①证明0nx,易证②再证nX单减,由101,0,0nnnxxxnnneeeeexxx拉格朗日中值定理1,limnnnnxxxxx单减有下界由此得存在③设lim,1AAnnxAAee则0A20.设实二次型2221231232313,,,fxxxxxxxxxax其中a是参数.(1)求123,,0fxxx的解;(2)求123,,fxxx的规