人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念

定积分的概念1.210.80.60.40.20.20.40.511.522.5O1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.50.511.522.5ABDC新课引入：你能求出以下阴影部分图形的面积吗？1.61.41.210.80.60.40.20.511.522.53y=f(x)f(b)f(a)ba阴影部分类以一个梯形，有一条边是曲线y=f(x)的一段，y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。根据梯形的面积公式可求把图形分割成两个三角形和三个梯形求面积此图形既不规则，也不是直线图形，怎么办？图1图2图3一、定积分的两个实例（一）、求曲边梯形的面积1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52fx()=x2B0A2xy与直线x=1,y=0所围成的平面新课探究如何求抛物线图形的面积S？引例中的图1，图2，对求曲边梯形的面积有什么启发吗？1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52fx()=x2B0A1.210.80.60.40.20.20.40.511.522.5O你能写出每个小区间的左右端点的横坐标吗？每个小区间的长度记为，的值是多少？类比上图可以考虑用分割法把区间[0,1]等分为n个小区间把不规则图形分割成规则图形求面积n1n2n3n4ni1nixxxnx1n1n2n3n4ni1ni1.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52fx()=x20A类比上图可把分割得到的每个小曲边梯形用直边图形近似代替，即“以直代曲”求面积1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.50.511.522.5ABDC规则图形可直接用公式求面积用怎样的直边图形代替曲边梯形求面积呢？n1n2n3n4ni1ni1.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52fx()=x20An1)1(nif)(nifn1)1(nif)(nifn1用直边图形近似代替曲边梯形的方法有三种，每种方法得到的直边图形的长和高分别是多少？1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52fx()=x20以第一种方法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52n=10.00fx()=x20当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52n=20.00fx()=x20当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系1.41.210.80.60.40.20.210.50.511.52n=30.00fx()=x20A当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系1.41.210.80.60.40.20.210.50.511.52n=60.00fx()=x20A分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52n=100.00fx()=x20A当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系1.41.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52n=200.00fx()=x20A21.81.61.41.210.80.60.40.20.20.41.510.50.511.522.53n=300.00fx()=x20A分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系观察归纳当分割得到的小矩形越来越细时，小矩形的面积之和越接近曲边梯形的面积S。当n无穷大时，小矩形的面积之和与曲边梯形的面积趋近于相等。由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯形面积S的近似值，即nifnSSnin111nSnifnSnin11122211211101nnnnnnnn612113nnnnnn2111131得到曲边梯形的面积的近似值为nnSSn21111312111ninni由nnSSn2111131ns的近似值200.30875300.31685400.32094500.3234600.32505700.32622800.32711900.32781000.328351100.32881200.329181300.32951400.329771500.330011600.330211700.33041800.330561900.330711990.330822000.3308410000.3328320000.3330830000.3331750000.33323根据表格数据我们可以看到当n值越大时，S的值越接近31由此我们得到求曲边梯形面积的第四步：取极限：当n趋向无穷大时，趋向某个值S，这个值S就叫的极限值nSnS312111131lim)1(1limlim1nnnifnSSnninnn由得到n与S关系如表格所示：即n1n2n3n4ni1ni1.210.80.60.40.20.20.410.50.511.52fx()=x20An1)1(nif)(nifn1)1(nif)(nifn1以这种方法近似代替小曲边梯形得到曲边梯形的面积为31这两种方法近似代替小曲边梯形得到的面积也是吗？31课后思考（二）、汽车行驶的路程思考：汽车以速度为v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s=vt，如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为你能类比求曲边梯形的面积的过程，求出汽车在2)(2ttv10t这段时间内行驶的路程S（单位：km）吗？2.221.81.61.41.210.80.60.40.20.20.40.50.511.522.533.544.52.221.81.61.41.210.80.60.40.20.20.40.50.511.522.533.544.5思考方向：变速直线运动的路程匀速直线运动的路程转化过程：2、当n无限大时，每个小时间段上的v变化很小，可看作不变。1、把时间[0,1]分割成n个小时间段3、求出各小时间段的路程再相加，得到路程的近似值。4、令n趋向于无穷大，得到路程的精确值。总结归纳：根据前面两个实例，你能总结出求任意一个曲边梯形在区间[a,b]的面积的方法步骤吗?1.61.41.210.80.60.40.20.511.522.53y=f(x)ba一、分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x，11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb二、取近似值:任取xi=xi1或xi=xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为x的小矩形面积f(xi)x近似地去代替.ban2x1x1ixixxaixi三、作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：1()niiSfxx四、取极限:所求曲边梯形的面积为ininniixfnabxfS110limlim如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，求曲边梯形面积和求汽车行驶的路程这两个实例,都是通过“四个步骤”来实现:这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作dxxfba二、定积分的概念，即ininbafnabdxxf1lim曲边梯形面积S=ininfnab1limdxxfba分割---近似代替----求和------取极限ininiinfnabxfS11小矩形的面积和为abxfdininfnab1lim———叫做积分上限———叫做积分号ab———叫做积分下限xf——叫做被积函数xx——叫做积分变量f(x)dx——叫做被积表达式[a,b]——叫做积分区间（一）定积分的相关名称1.当xfini)(1x的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，与xi点的取法无关。[a,b]2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(ininbafnabdxxfS1lim（二）定积分的一些相关说明：xf根据定积分的概念，曲边梯形的面积3110210dxxdxxfS汽车在[0，1]这段时间内经过的路程35)2(10210dttdttvS2.221.81.61.41.210.80.60.40.20.20.40.50.511.522.533.544.52)(2ttv（三）、定积分概念的进一步理解21.81.61.41.210.80.60.40.20.20.41.510.50.511.522.53fx()=x20A三、定积分的几何意义：xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。1.61.41.210.80.60.40.20.50.511.522.5ba当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，上述曲边梯形面积的负值。三、定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示0.40.20.20.40.60.811.20.50.511.522.5badxxfsbaSdxxfbaabOxy1()baSfxdxxfy1xfy2（一）定积分几何意义的应用xyOabxgy1xgy2根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗?abOxy1()baSfxdxxfy1xfy2dxxfSba22dxxfdxxfSSSbaba2121xyOabxgy1xgy2dxxgsba11dxxgsba22dxxgdxxgSSSbaba2121（二）定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.()bakfxdx()bakfxdxbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdxxfdxxfdxxfbccaba)()(SSS21思考：你能从定积分的几何意义解释性质(3)吗？aby=f(x)cOxydxxfSbc2dxxfSca1dxxfSba(一）利用定积分的几何意义求下列函数的定积分dxx10dxx0sin1、2、3、dxx332921.510.50.511.52432112341210864224655101520253-3o3.532.521.510.50.511.522.533.57π23π5π22π3π2ππ2π2π3π22π5π23π7π2o2111210293212四、练习巩固43.532.521.510.50.511.522.533.545π22π3π2ππ2π2π3π22π5π232.521.510.50.511.522.533.544.554321123456789106.565.554.543