最优控制小论文

飞行器的翻转最优滑模控制及平移和姿势动力学日期：2015年11月3日摘要：该论文提出了一种强健的最优翻转控制策略，实现了飞行器在外部干扰的情况下平移和姿势动态控制。该最优控制是基于桑塔格公式和控制李雅普诺夫函数实现的，然后把二阶积分滑模和已经得到的最优控制律结合实现最优积分滑模控制，所提出的控制律可使系统全局渐进稳定的证明可由李雅普诺夫函数实现。该论文首先介绍了一些初步的结果并进行了讨论，第二部分介绍了飞行器的动力学方程和运动学方程。第三部分提出了问题也给出了相应的控制目标。最后，把没有干扰的最优控制律和二阶积分滑模得到的控制结合，达到最终的目的。关键字：平移和姿势控制；最优控制；控制李雅普诺夫函数；二阶积分滑模控制；积分滑模控制Abstract：Thispaperproposestworobustinverseoptimalcontrolschemesforspacecraftwithcoupledtranslationandattitudedynamicsinthepresenceofexternaldisturbances.Forthefirstcontroller,aninverseoptimalcontrollawisdesignedbasedonSontag-typeformulaandthecontrolLyapunovfunction.Thenarobustinverseoptimalpositionandattitudecontrollerisdesignedbyusinganewsecond-orderintegralslidingmodecontrolmethodtocombineaslidingmodecontrolwiththederivedinverseoptimalcontrol.TheglobalasymptoticstabilityoftheproposedcontrollawisprovedbyusingthesecondmethodofLyapunov.Thispaperisorganisedasfollows.Section2introducessomepreliminaryresults,whicharerequiredforthefollowingdiscussion.InSection3,thedynamicsandkinematicsofspacecraftwithcoupledtranslationandattitudedynamics(Sidi,1997;Wertz,1978)aredescribed.Theproblemstatementandcontrolobjectivearealsogiven.Section4providesaninverseoptimalcontroldesigntoachievetheasymptoticconvergenceoferrorsystemstatestozero.InSection5,anewISOSMClawisappliedtomergethederivedinverseoptimalcontrolwithSMC.Keywords:positionandattitudecontrol;inverseoptimalcontrol;controlLyapunovfunction;second-orderslidingmodecontrol;integralslidingmode1.引言飞行器的位置和姿势对其完成相应的任务非常重要，例如飞行器的交会和对接、捕捉一些无效力的飞行器、编队飞行等。这些太空任务需要飞行器执行一些角度较大的旋转和复杂的平移运动。翻转最优控制策略用来处理要求精确的飞行器的位置和姿势运动，平移和旋转的运动方程是高度非线性的。所以几乎没有实验成功的最优控制率来解决这个问题。这里提出了一个基于翻转最优控制和积分二阶滑模控制的强健的最优控制策略，这种策略用来处理位置和姿势的控制问题，并且优于单纯的最优滑模控制。滑模控制对匹配的参数不确定性和外部干扰具有良好的鲁棒性，且具有快速的动态响应能力。采用积分滑模的概念可以将控制器与滑模方法结合，保证系统的鲁棒性。2.翻转最优控制方法我们考虑如下仿射非线性动态系统：uxgxfx其中，f和g分别表示向量和矩阵值函数，x和u分别表示状态和控制向量。对于上述非线性系统，一个与控制器u(x)有关的控制李雅普诺夫函数是连续可微的正定函数V(x)，须满足：hxVxVLxuxVLxVLhgfu0,0inf如果存在x≠0且00VLVLfg那么V(x)为一个控制李雅普诺夫函数。一个控制律如下：TgVLxRxkxu1其中，R是一个正定矩阵函数，如果V(x)是一个正定仿射无界的李雅普诺夫函数并且使（1）系统稳定，那么如下的控制律是最优的2,xkxkxu与之有关的泛函为TgggfTVLVRLxVkLVLxldtuxRuxlI1022(3)是一个连续可微的半正定矩阵函数，使非线性系统（1）稳定的控制律u可以通过使性能指标(2)最小化来获得。在所提出的翻转最优控制方法中，首先设计一个可使系统稳定的闭环反馈控制律，然后表明该反馈控制律要找到l(x)≧0和R(x)≧0从而使u(x)达到最优，该问题是倒置的，因为l(x)和R(x)是凭借一些先验知识使系统稳定得到的，而不是事先由设计者给出的。3.飞行器的非线性模型及公式3.1飞行器的位置和姿势动力学方程飞行器完成平移和旋转任务的动力学模型如下所示dfJJdfvmvmf其中32154000121323M是飞行器的质心，v是飞行器的平移速度向量，ω是飞行器的旋转角速度向量，f是控制力，df是有界外部干扰输入，（5）中的J是3×3正定的惯性矩阵，ρ代表从飞行器质心到施力点的距离，ρ×是ρ的一个分量且是一个斜对称矩阵，τ是控制力矩向量，dτ是有界的干扰力矩输入。3.2飞行器的位置和姿势的运动学方程QTqQvrrT21r代表飞行器的位置向量，Q是一个单位四元素，它决定了飞行器的姿势方向,T(Q)=q×+q0I32sin,2cos0eqq其中,e是一个单位向量，规定了欧拉轴线和ɸ，代表了欧拉轴线旋转的量级，且受到下式的约束：120qqqQQTT3.3基于误差的飞行器运动方程：dededevvvrrr,,r表示飞行器的实际位置，rd表示飞行器的期望位置，re表示位置误差。我们通过单位四元素来定义飞行器的期望位置。也可以通过单位四元素规定平移和姿势误差。我们把上式代入(4)-(7)，我们可以得到相对运动方程如下：eeTeeeeeedeeededdedeefdddedeeqIqqQEQEQrvrdfJJJdfvvvmvm30021678通过上述转换，追踪控制问题就被简化为规制问题，通过设计控力制向量f和力矩向量τ来达到控制效果。rd,vd,qd和ωd是假定有界的。因此，需要设计一个控制律，迫使当t趋于无穷时，闭合回路系统(4)-(7)趋近于0，在外界干扰的条件下，可以表示为：0lim,0lim0lim,0limttvtqtretetetet4.翻转最优控制器设计4.1逐步退焊法改变2.3中的相对运动方程为fffddmddrvvqrffedee,,,,其中deddeddeqdddededdedrJJJvvrrv,2那么相对运动方程可以简化为eeeeeeeeeefeeeQEQrvrdJJdfvmvm21,,,910由(9)、(10)两个运动方程描述了一个级联系统，它暗含了这两个运动方程可以间接分别通过平移速度向量和角速度向量ωe来控制。所以，为了使该级联系统稳定这两个量被看做是虚拟的控制输入。定理1考虑(9)、(10)式分别含有虚拟输入的动态系统，控制律分别为edeedeqKrKv21,这里，K1，K2分别为3阶正定矩阵，可使(9)、(10)两系统在初始点全局渐进稳定。可以通过下式V的李导数正定来证明该定理201121eeTeeTeqqqrrV定义期望误差如下：eedeeeedeeqKzrKvvvz2211,经过上面式子的代换计算可以得到新的系统dJqIqJKJJzdmfmrKzKzzeeeeefee1302121111121,11通过定理1，可以证明得到对于系统方程(9)、(10)，如果存在一个控制力和控制力矩对于任意的初始点re(0)、qe(0)满足0lim,0lim21tztztt那么便可实现0lim,0limtqtretet这就意味着通过方程(11)、(12)也可以在(13)的条件下得到0lim,0limttvetet4.2翻转最优位置和姿势设计令Z=[z1z2]，基于误差的飞行器运动方程可以重新写为dzBuzBzFz其中11121314dddfuJmzBqIqJKJJrKzKzzFfeeeeeee,,0012113330211111动态系统控制律如下0,00,22121zifzifzzzRzxlxxzxRxKuTT其中eeeeeTeeTTeeeeeqIqJKJzqzrKzKrzxzqqzvrxzzz302222111120121212可以通过使下式指标泛函最小化来达到飞行器姿势控制系统方程(9)、(10)、(14)最优的任务zRzqIqJKJzqzrKzKrzxlqJzzqqzmzrrVdtRuuxlTVLTeeeeeTeeTeTeTTeTeTTTa130222111120221112024212412121214lim由李导数和对R(x)和l(x)的定义，可以得到R(x)是一个正定矩阵以及l(x)是一个半正定矩阵，因此La对于飞行器的位置和姿势是一个很有意义的目标函数，把l(x)代入La，我们可以得到最优目标La*=4V2(0)。5.二阶积分滑模控制根据由(9)、(10)、(14)组成的系统，定义最优翻转滑模控制器为suuu*u*是上节当中的最优控制率，us是保持系统在滑模面上且确保在不确定外部干扰下的鲁棒性的滑模控制。滑行函数定义为zs这里的积分项ɸ定义为00*zBuzF这里ɸ(0)的确定是基于必要条件S(0)=0，这就意味着滑动模态从最初的时间就已经存在了。二阶积分滑模设计为][0312211tsdsignsssignssignBu对于a∈R6，γ∈(0,1)，函数signγ(a)、sign(a)被定义为