3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式平罗中学石占军复习两角和（差）的三角公式S(αβ)C(αβ)T(αβ)sinsincoscoscossincoscossinsintantan1tantantan若上述公式中，你能否对它进行变形？对于能否有其它表示形式？2C公式中的角是否为任意角？1222coscos2212sincosRR,且，42k2kZkcossinsin22222sincoscos2122tantantan二倍角公式：对二倍角的理解正弦、余弦的三倍角公式：P1381.sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a2.cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosa口答下列各式的值：002202020(1)sin22.5cos22.5;(2)cossin;882tan15(3);(4)12sin75.1tan15公式识记1oooo22oo2o1sin15cos152sin15+cos15ππππ3cos-sincos+sin121212121π244-cos5-+cos1528332tan150π67cos1-tan15012、求值：（）（）（）（）（）（）（）（）（）oo5πcos12138-sin10cos10（）14623234333144（9）练习：2、求下列各式的值：(1)；(2)sin10°sin30°sin50°sin70°.12cos24cos48cos48sin85124441342.sin,sincostan.例已知，求，，的值求中在例)22tan(,2tan,54Acos,.2BABABC变式练习:在等腰⊿ABC中,已知sinC=,求tanA的值.102135.sincossincos例已知，（，2），求2，2.242257225sincos隐含的角范围sincos,0,sin2cos212、已知3求和的值求）已知（的值求）已知、（练习)2(tan,31tan,71tan2tan,312tan11升、降幂公式22222122122122sinsincossincos=sincoscoscoscossin（）22122122coscoscossin1、升幂公式：2、降幂公式：升幂缩角降幂扩角例4.化简(1)1sin40;(2)1sin40;(3)1cos20;(4)1cos2022sin2cos4变式：如何化简呢？211.sinsin变式化简，（0，）.化简原则1.无理式化有理式，分式化整式2.能求出值的一定求出来3.根据角范围去绝对值2222sincos当（0，）时，原式=2当（，）时，原式=21sin2cos2tan1sin2cos2求证：例5.练习：求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.2．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈π2，π，β∈－π2，0，求sinα的值．解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×－1213＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈π2，π，∴sinα＝3130130.例6．已知函数．求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．2πππ()12sin()2sin()cos()888fxxxx运用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式的结构;对公式会“正用”，“逆用”，“变用”。[典例](2012·安徽高考)设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)(3)求对称轴，对称中心求该函数的单调区间[解](1)f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝22cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12sin2x，故f(x)的最小正周期为π.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的应用[例3](2013·西域模拟)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈π2，π.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．[自主解答](1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，所以sinx＝0或tanx＝－33.由sinx＝0，x∈π2，π，得x＝π；由tanx＝－33，x∈π2，π，得x＝5π6.综上，函数f(x)的零点为5π6或π.解：f(x)＝sin2x＋3(1－2sin2x)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.3．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin2x－23sin2x＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x∈－π6，π6时，求f(x)的值域．(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数y＝sin2x＋π3为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(2)∵x∈－π6，π6，∴2x＋π3∈0，2π3，∴sin2x＋π3∈[0,1]，∴f(x)＝2sin2x＋π3＋1∈[1,3]．∴f(x)的值域为[1,3]．2．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝sinx＋cosx.解：(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f(－x)＝cosx－sinx.又∵f(x)＝2f(－x)，∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，且cosx≠0，∴tanx＝13，∴cos2x－sinxcosx1＋sin2x＝cos2x－sinxcosx2sin2x＋cos2x＝1－tanx2tan2x＋1＝611.(1)若f(x)＝2f(－x)，求cos2x－sinxcosx1＋sin2x的值；(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx，∴F(x)＝cos2x＋sin2x＋1，即F(x)＝2sin2x＋π4＋1.当sin2x＋π4＝1时，[F(x)]max＝2＋1.由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数F(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．例2已知函数f(x)＝2cosx＋π3sinx＋π3－3cosx＋π3.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)若对任意x∈0，π3，mfx＋3＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】(1)f(x)＝2sinx＋π3cosx＋π3－23cos2x＋π3＝sin2x＋2π3－3cos2x＋2π3＋1＝sin2x＋2π3－3cos2x＋2π3－3＝2sin2x＋π3－3.∵－1≤sin2x＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x＋π3－3≤2－3，又T＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.(2)当x∈0，π3时，2x＋π3∈π3，π，∴sin2x＋π3∈[0,1]，此时f(x)＋3＝2sin2x＋π3∈[0,2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m，∴0≤－2m≤2，即2m≤0，2m＋2≥0，解得m≤－1.即实数m的取值范围是－∞，－1.1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导总结RR,且，42k2kZkcossinsin22222sincoscos2122tantantan1222coscos212sin2、注意正用、逆用、变形用3、公式变形：1sin21cos21cos222cos1cos222cos1sin2升幂降角公式降幂升角公式2(sincos)22cos22sin作业：1、上交：p137第11.12题；p138第14.15.16.17.18.19.题.2、课外：资料p80-82.