量子力学-第三章-量子力学中的力学量-31

力学量—表示一个体系力学性质的量。微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个力学量（如：）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；xp,x正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示微观粒子的力学量。微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根本不可能同时具有确定值（如：；）。微观体系的这些特点源于它的波动性（无确定轨道问题）。TU,xp,x§3.1表示力学量的算符§3.2动量算符和角动量算符§3.3电子在库仑场中的运动§3.4氢原子§3.5厄米算符本征函数正交性§3.6算符与力学量的关系§3.7算符对易关系，两力学量同时有确定值的条件，测不准关系§3.8力学量平均值随时间的变化，守恒定律一、算符的一般性质算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为。Fˆ例如：中的“”；vuxuv=x中的“”（作用是乘）；vdxdudxd中的“”（求导）；udxudx中的“”（作用是积分）。其中是的函数。如，还有要讲的角动量算符等…。2121210c,c,,b,b,,a,a,az,y,xHˆ,pˆ,xˆxLˆ一般，作用在它右边的函数上，原来的函数变为新函数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：ˆFuvˆF222122210ybybxaxaaFˆ2221zczc2.算符的相等若对任意的函数，有,我们称与相等，记为：。uuGˆuFˆFˆGˆGˆFˆ1.单位算符作用到任意的函数上，不变，记为：IˆuuuuIˆ3.算符的相加若对任意的函数，有，则称算符为与之和。记为：。uMˆuGˆuFˆuMˆFˆGˆGˆFˆMˆ例：若，，有：xˆFˆxiGˆu)xixˆ(uGˆuFˆ即：。)xixˆ(Mˆ算符之和满足交换律：。FˆGˆGˆFˆ满足结合律：。MˆGˆFˆMˆGˆFˆ4.算符相乘若对任意的函数，有，则称算符为与之积。记为（注意：不一定等于，称为算符与不对易，表明与作用到任意函数上，一般来说，结果与、作用的次序有关）。uˆˆˆG(Fu)MuMˆFˆGˆFˆGˆMˆFˆGˆGˆFˆGˆFˆGˆFˆuFˆGˆ对于某些算符，，为任意的函数，则称与对易。uFˆGˆuGˆFˆuGˆFˆ如一个算符相继作用在上n次，则可用表示，即：，。FˆnFˆuuFˆ)uFˆ(Fˆ2uFˆuFˆFˆFˆn即有，即和可以交换顺序，均为正整数。nmmnFˆFˆFˆFˆnˆFm,nmˆF5.逆算符：IˆGˆFˆFˆGˆFˆGˆ1GˆFˆ1IˆFˆGˆFˆGˆ1GˆFˆ1Gˆ1Fˆ如果存在，则称与互为逆算符，记，，且有。即与对易。并且有性质：。6.算符的复共轭、转置和厄米共轭（1）算符的复共轭算符，由表示中复量换成共轭复量构成。Fˆ*FˆFˆ例如在坐标表象中，动量算符的复共轭算符为：。xipˆxxipˆ*x***uFˆuFˆ（2）算符的转置算符FˆF~ˆ对于任意的函数，有：v,u*ˆˆuFvdvFud定义式（i）xx~（ii）xxpp~（iii）A~ˆB~ˆBˆAˆ（3）算符的厄米共轭算符FˆFˆ对于任意的函数，有：v,u*ˆˆuFvd(Fu)vd定义式*F~ˆFˆ7.线性算符如：是线性算符，而“”和“乘方”为非线性算符。yx,dxd,x21定义：若对任意的函数，其中为任意复常数，则称算符为线性算符。12u,u21c,cFˆ11221122ˆˆˆF(cucu)cFucFu2线性算符之和仍是线性算符Gˆ,Fˆ即线性算符关于加法是闭合的。11u)GˆFˆ(c和定义22u)GˆFˆ(c)uGˆuFˆ(c)uGˆuFˆ(c2221112211Gˆ,FˆuFˆcuFˆc线性2211uGˆcuGˆc和定义)ucuc)(GˆFˆ(2211)ucuc(Fˆ2211)ucuc(Gˆ22113线性算符之积仍是线性算符即线性算符关于乘法是闭合的。)ucuc(GˆFˆ2211)uGˆcuGˆc(Fˆ2211Gˆ线性线性Fˆ2211uGˆFˆcuGˆFˆc8.算符的函数量子力学中算符的函数可由幂级数定义得：n0n)n(x!n)0(F)x(F0xnn)n()x(Fx)0(Fn0n)n(Aˆ!n)0(F)Aˆ(F例如：。n0ntHˆi]tHˆi[!n1e1若对某函数，有，其中是数量，则称为的本征值（固有值），是的属于本征值的本征函数。上式称为算符的本征值方程（如：）。方程的解除了决定于的具体形式以外，还决定于满足的条件，可取分立值，用表示，也可取连续值。uˆFuuFˆuFˆFˆn9.算符的本征值与本征函数EHˆFˆuEHˆFˆEHˆFˆuEHˆFˆ1若对某函数，有，其中是数量，则称为的本征值（固有值），是的属于本征值的本征函数。上式称为算符的本征值方程（如：）。方程的解除了决定于的具体形式以外，还决定于满足的条件，可取分立值，用表示，也可取连续值。uˆFuuFˆuFˆFˆnuEHˆFˆ2如对应一个只有一个，则为非简并（如线性谐振子的能量本征值）；如对应一个有n个本征函数，即，并且它们是线性独立的，则为n度简并。un21u,u,u例如：一维自由粒子的能量本征值为2度简并。3如有共同的本征函数，则和算符的本征值是算符本征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：Gˆ,Fˆuu)GˆFˆ(uGˆuFˆu)gf(gufuuGˆFˆguFˆuFˆggfufgu10.厄米算符1定义：对任意二函数，若满足下式：,Fˆ（一、二和三维都适用）d)Fˆ(dFˆ则称为厄米算符。其中“”表示取复数共轭；是的定义。Fˆ)uFˆ(uFˆFˆ或dFˆdFˆdFˆ例：和是厄米的，而不是厄米的。xxˆdxdipˆxx(1)（因为是实数）dx)x(dxxx(3)解法同上，有：dxx()dxxdxxi(2)dxxiidxpˆxdx)xi(dx)pˆ(xx假设和是在时等于零的束缚态。2厄米算符的本征值为实数（定理内容）证明：若是的属于本征值的本征函数，即，则FˆFˆ由厄米算符的定义，且令，则有：①＝②，于是为实数。所以厄米算符又叫实算符。dd)(d)Fˆ(②ddFˆ①3厄米算符之和仍是厄米算符Gˆ,Fˆd)GˆFˆ[(d)Gˆ(d)Fˆ(dGˆdFˆd)GˆFˆ(证明：d)GˆFˆ(d])GˆFˆ[(4厄米算符之积不一定是厄米算符Gˆ,Fˆ要看二者是否可以交换顺序d])GˆFˆ[(不一定注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。证明：d)Gˆ()Fˆ(d)Gˆ(Fˆd)GˆFˆ(d])FˆGˆ[(二、量子力学中用线性厄米算符表示力学量1.两个假定：假定1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。假定2：当体系处于任意状态下，算符的本征值集合即是测量体系的力学量的可能值；当体系处于的属于的本征态时，测量力学量，得到确定值。FˆFFˆnnFn2.量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示1为什么用算符表示力学量？(a)因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，能得到与实验符合的本征值，且多是分立的，如线性谐振子的能量本征值。(b)用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同时具有确定值的情况。2为什么用厄米算符表示力学量？因为厄米算符的本征值是实量值，而力学量的量值一定是实数，平均值也是实数。非厄米算符解得的本征值不满足此要求。3为什么用线性算符表示力学量?态迭加原理要求力学量算符为线性的。举例：若是方程薛定谔方程的解，即：21,而根据态迭加原理，也是方程的解，即：2211cc于是③与④比较可得：即必为线性算符。Hˆ11Hˆti①22Hˆti②1c2c则①＋②有：Hˆc)cc(ti12211221Hˆc③Hˆ)cc(ti2211)cc(2211④)cc(Hˆ2211Hˆc1221Hˆc⑤4力学量算符得构成两个基本的力学量算符：这就是量子力学中表示力学量算符的构成规则。zˆz,yˆyˆ,xxˆipˆzipˆ,yipˆ,xipˆzyxrrˆ假设：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将，而得出，即：）。FFˆ)p,r(FrrˆrpˆˆˆˆˆFF(r,p)F(r,i)ipˆ