数量积坐标表示

平面向量的数量积的坐标表示一、复习练习:）（则，夹角为与若。bababa60,1||,2||1.）（夹角为与则，若bababa,2||,1||22.3.）（垂直，则与若baba4.5..||92||）（，则若；）（，则若aaaaaa).();();(,ijjijjiiyxji则相同的两个单位向量轴方向轴、分别为与，若cos||||baba的夹角）与是（其中ba||||cosbabaaaaaaa||||2；0baba1。45043110二.创设教学情境(1,3),(1,1),,.abab已知与的夹角为求cos我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用cos||||abab根据以前的知识，.abab和的坐标表示呢？三、新课学习1.平面向量数量积的坐标表示如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，ijcosabab由于，所以xijyoB(x2,y2)abA(x1,y1)iijjijji...110下面研究怎样用.baba的坐标表示和设两个非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),则ab1122,axiyjbxiyj，112222121221121212.()()abxiyjxiyjxxixyijxyijyyjxxyy故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ijxoB(x2,y2)A(x1,y1)aby.2121yyxxba根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.；或aaaaaa2)1((1)向量的模2.向量的模和两点间的距离公式2（）两点间的距离公式22222(,),,axyaxyaxy设则或.1122121222,)(,))).,AxyABxxyyBxy（（设则（、0baba（1）垂直11221212,),(,),0.axybxyabxxyy设（则3.两向量垂直和平行的坐标表示0//),,(),,12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行四、基本技能的形成与巩固1.(3,2),(1,1),abab例已知求向量与的夹角的余弦值.222231226cos.26321ab解：设向量与的夹角为，则（-1）（-1）2626ab即向量与夹角的余弦值为.例222222222,OABCOBCAOAOBCABC证明:由得:222222,OABCOABCOBCAOCABOABC已知为所在平面内一点且满足：证明为垂心。+-=+-OAOBOAOBCABCCABC即：（）（）（）（）+-OAOBBABACABC所以：（）（）+-+=0OAOBCABCBA所以：（）0,OCBAOCBA即：所以：OBCAOABC同理可证：，，OABC所以为垂心得证。应用向量知识证明平面几何有关定理例3、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。CBAC0CBAC2222baba022rr即，∠ACB=90°0CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？解：设AO=a，OC=bACab则，由此可得：ACCB=(a+b)(a-b)?CBabCB应用向量知识证明平面几何有关定理例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设，则baDBbaACaDAbBC;,,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa∴222222BDACDACDBCAB应用向量知识证明三线共点、三点共线例5、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设aBCbCApCH利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0BACH只须证明0pBA如何证？应用向量知识证明三线共点、三点共线例6、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP解：设bACaAB,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA即故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA//应用向量知识证明等式、求值例7、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2)(8,4)AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)(8,4)(4,2)0AMENe解得：e=5故△AEM的面积为10应用向量知识证明等式、求值例8、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面积为64，可得边长为8由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2))4,8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)0)2,4()4,8(eENAM解得：e=5即AE=51102AEMSAEBM应用向量知识证明等式、求值练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：311nm分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利用向量坐标知识进行求解。OABG·PQ由PO=mOA,QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,O分的比为，O分的比为PAQB由此可设由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到mn的关系。),()0,(221yxQxPGQPG//-m-n??应用向量知识证明等式、求值练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：311nmOABG·PQ证：如图建立坐标系，设),(),0,(),()0,(221cbBaAyxQxP所以重心G的坐标为)3,3(cba由PO=mOA,QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分的比为-m，O分的比为-nPAQB求得),()0,(ncnbQmaP由向量可得：GQPG//)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmaba化简得：311nm2222||||cos31124cos.23114mnmnmn设向量与夹角为，因为，从而（-7）（）（-7）124545.ll所以，即直线和的夹角为练习1：2,.abab已知（3，2），（6，9），求证131.ababab，已知（2，2-4），（1，），求：（1）；（2）与的夹角的大小本堂小结理解和应用向量的坐标表示公式解决问题：1.数量积的坐标表示2121yyxxba2.向量坐标表示的求模公式22222,axyaxy或3.平面内两点间的距离公式221221))yyxxAB（（4.两向量夹角的余弦222221212121cosyxyxyyxx5.向量垂直的判定02121yyxxba练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，B=90，求点B的坐标.yBAOx.23272723，或，的坐标为答案：B五、课后练习的坐标为，则点，，且，已知CABBCOBACOBOA//)5,0()1,3(.1329,3C2.已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形3.已知=(1，2)，=(-3，2)，若与2-4平行，则k=.abaakb2b-1