2012新高考全案 第2章 函数与基本的初等函数 第4讲 函数的奇偶性及周期性

第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学1．奇函数、偶函数定义(1)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有；即互为相反数的两个自变量值对应的函数值互为相反数，那么函数f(x)就叫做奇函数．(2)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，即互为相反数的两个自变量值对应的函数值相等．那么函数f(x)就叫做偶函数．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)第二章函数与基本初等函数高考总复习数学2．奇函数和偶函数的性质(1)奇函数图象关于对称；偶函数图象关于对称．(2)偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在(－b，－a)上，奇函数在区间(a，b)与(－b，－a)上的增减性．原点y轴递减(增)相同第二章函数与基本初等函数高考总复习数学3．奇偶函数的判断(1)定义是判断函数奇偶性的主要依据，就是确定f(x)与f(－x)的关系．(2)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或利用定义的等价式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学4．周期函数定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，T为函数的一个周期．f(x＋T)＝f(x)第二章函数与基本初等函数高考总复习数学1．(2010·广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数[解析]f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．[答案]B第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[答案]C2．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称第二章函数与基本初等函数高考总复习数学3．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3[解析]因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，可求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2＋b)＝－3.故选D.[答案]D第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(1)f(x)＝lgx2＋lg1x2；(2)f(x)＝(x－1)·1＋x1－x；(3)f(x)＝lg1－x1＋x；(4)f(x)＝x2＋xx0－x2＋xx0；(5)f(x)＝x2－|x－a|＋1.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)函数的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(x)＝lg(x2·1x2)＝0.(x≠0)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x1－x≥0得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)由1－x1＋x＞0得－1＜x＜1，故f(x)的定义域为(－1,1)．∵f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg(1－x1＋x)－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(4)当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(5)函数的定义域为R.当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋1.有f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－2|a|＋1.f(a)≠f(－a)．且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋1)＝2(|a|－12)2＋32≠0.∴f(x)为非奇非偶函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示]判断函数的奇偶性，应首先求出函数的定义域，并视定义域是否关于原点对称．只有定义域关于原点对称，才有验证是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的必要．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间[0,1)上是增函数，若有不等式f(a－2)－f(3－a)0成立．求实数a的取值范围．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解]因为f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，由f(a－2)－f(3－a)0得f(|a－2|)f(|3－a|)．又因为f(x)在[0,1)上递增，从而有－1a－21－13－a1|a－2||3－a|⇒1a32a4a52⇒2a52，于是a的取值范围是(2，52)．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示]本例题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题的一般思路有两条：一是就a－2与3－a的符号进行分类讨论(过程繁琐)；二是利用偶函数的性质f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．而得到“|x1||x2|⇔f(x1)f(x2)”．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间(－1,0]上是减函数，若有不等式f(a－2)－f(a－3)＜0成立，求实数a的取值范围．[解]f(x)为偶函数，在(－1,0]上是减函数，∴f(x)在[0,1)上是增函数f(|a－2|)＜f(|a－3|)－1＜a－2＜1－1＜a－3＜1|a－2|＜|3－a|⇒1＜a＜32＜a＜4a＜52⇒2＜a＜52∴a的取值范围(2，52)第二章函数与基本初等函数高考总复习数学函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)0.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[分析](1)通过建立方程，求出a、b的值．确定f(x)的解析式．(3)利用函数的单调性脱掉“f”．[解](1)依题意，得f0＝0f12＝25即b1＋02＝0a2＋b1＋14＝25⇒a＝1b＝0∴f(x)＝x1＋x2.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(2)任取－1x1x21，f(x1)－f(x2)＝x11＋x12－x21＋x22＝x1－x21－x1x21＋x121＋x22∵－1x1x21，∴x1－x201＋x120,1＋x220.又∵－1x1·x21，∴1－x1x20.∴f(x1)－f(x2)0.∴f(x)在(－1,1)上是增函数．(3)f(t－1)－f(t)＝f(－t)，∵f(x)在(－1,1)上是增函数∴－1t－1－t1，解得0t12.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示](1)如果一个奇函数在x＝0处有定义．那么f(0)＝0.(2)解不等式f(t－1)＋f(t)0时，注意函数定义域对t的限制．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(－12)＝－25(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(1－t)＋f(－t)＜0.[答案](1)f(x)＝x1＋x2(2)略(3)12＜t＜1第二章函数与基本初等函数高考总复习数学已知奇函数f(x)定义在R上，其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)当x∈[－1,0)时，求f(x)的表达式；(2)证明f(x)是周期函数，并求出它的一个周期；(3)当x∈[4,5]时，求f(x)．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)当－1≤x0时．－x∈(0,1]，而f(－x)＝2－x－1，且f(x)是奇函数．所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1.(2)因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，用－x替换x，就有f(－x)＝f(2＋x)．由f(x)是奇函数得f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，进而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．可知f(x)是周期函数，4是它的一个周期．(3)当4≤x≤5时，0≤x－4≤1.所以f(x－4)＝2x－4－1.而f(x－4)＝f(x)，所以f(x)＝2x－4－1(x∈[4,5])为所求．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示](1)已知奇函数f(x)的图象关于x＝a对称，则f(x)是周期函数，且4a为其中的一个周期；若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则2a为其中的一个周期．(2)注意分清函数图象的几种关系：①若f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．②若f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的周期为2a.③函数y＝f(x－a)与函数y＝f(a－x)图象关于直线x＝a对称．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学1．判断函数奇偶性就是看f(－x)与f(x)是否有相等关系或互为相反数的关系．2．函数的奇偶性是对整个定义域而言的，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域．“函数的定义域关于原点对称”是它具有奇偶性的前提．3．要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性．要充分利用f(x)与f(－x)之间的转化关系和图象的对称性解决有关问题．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学4．解题中要注意以下性质的灵活运用．(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(2)若奇函数f(x)的定义域包含x＝0.则f(0)＝0.5．f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是f(x)的周期．6．容易得到①f(x＋c)＝－f(x)，则f(x＋2c)＝f(x)，②f(x＋c)＝±1fx，则f(x＋2c)＝f(x)，即2c是f(x)的周期．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学