高中数学：柯西不等式

类型一：利用柯西不等式求最值例1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．根据柯西不等式，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变式4：设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为。【解】∵a(1，0，2)，b(x，y，z)∴a．bx2z由柯西不等式[120(2)2](x2y2z2)(x02z)2516(x2z)245x4545a．b45，故a．b的最大值为45:变式5：设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z之最小值为时，(x，y，z)解(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]4．936∴x2y2z最小值为6，公式法求(x，y，z)此时322)2(26221222zyx∴32x，34y，34z变式6：设x,y,zR，若332zyx，则222)1(zyx之最小值为________，又此时y________。解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222zyxzyxzyx∴最小值7181,233,2(2)3(31)3231xyztxyzttt∴73t∴72y变式7：设a，b，c均为正数且abc9，则cba1694之最小值为解：2)432(ccbbaa(cba1694)(abc)(cba1694)．9(234)281cba16949819变式8：设a,b,c均为正数，且232cba，则cba321之最小值为________解：:2222222)321(])3()2()1][()3()2()[(cbacba∴18)321(cba，最小值为18变式9：设x，y，zR且14)3(5)2(16)1(222zyx，求xyz之最大、小值:【解】∵14)3(5)2(16)1(222zyx由柯西不等式知[42（5)222]222)23()52()41(zyx．．．2)52(5)41(4yx2)23(z251(xyz2)25|xyz2|5xyz25∴3xyz7故xyz之最大值为7，最小值为3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数（例1）（2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构（例3）（4）添项（例4）例1．设、、为正数且各不相等，求证：又、、各不相等，故等号不能成立∴。例2．、为非负数，+=1，，求证：∴即例3．若，求证：解：，，∴，∴所证结论改为证∴例4．，求证：左端变形，∴只需证此式即可。【变式1】设a,b,c为正数，求证：．，即。同理，．将上面三个同向不等式相加得，．【变式2】设a,b,c为正数，求证：于是即【变式3】已知正数满足证明。解：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。柯西不等式22211nnbababa222221222221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（k为常数，ni2,1）利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明不等式例2:已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc证明：23131312222222222abcaabbcc222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc2）解三角形的相关问题例3设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR3）求最值例4已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程22294862439xyzxyy解：222222286248624xyzxyy①2222228624xyz2964364144394又22862439xyy,.222222286248624xyzxyz即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz，它与862439xyy联立，可得613x926y1813z