随机过程课件

研究生课程随机过程汪荣鑫编主讲教师：田传俊2013年9月第一章随机过程基本概念第1节随机过程及其概率分布1）随机过程概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；形象地说，每个时刻对应了一个确定数值；随机过程：事物变化的过程不可能用时间的确定函数来描述；形象地说，每个时刻对应了一个随机变量。随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。2()(),,,(0,2),()(),(0,2),()(),XtcostttXtcostxtcost例：考虑式中和是正常数,是在上服从均匀分布的随机变量,这是一个随机过程。对每一固定的时刻是随机变量的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是[-],在内随机取一数相应的就得到一个样本函数这族样本函数的差异在于它们相位的不同,故这一过程称随机相位为正弦波。▲几个例子4120()0,0()(),00,1,2,.XtttXtXtt例：设某城市的急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。以表示时间间隔内接到的呼叫次数，它是一个随机变量，且对于不同的，是不同的随机变量，于是是一随机过程，且它的状态空间是1t2t3t4t'1t'2t'4t'3t14231()xt2()xt()xtt例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：16(1)(1)1,2,(),1,2,3,4,5,6,1nnnnXnnnXPXiiXn设是第次抛掷的点数，对于的不同值，是随机变量，服从相同的分布，因而构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,它的状态空间为1,2,3,4,5,6。(2),11,2,3,4,5,6nnYnYn设是前次抛掷中出现的最大点数,也是一随机过程，它的状态空间仍是。下面分别给出它们的一条样本函数：n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny4热噪声电压.}0,)({是一个随机过程电压的变化过程ttV.),(:状态空间010203040504.54.64.74.84.955.15.25.35.45.5一次测得的电压——时间函数是一个样本函数.▲定义.是一无限实数集设T随机过程称为随机变量无限多个的一族　　依赖于参数)(Tt记为,{(),}.XttT.)(,是一随机变量对每一个tXTt.叫做T参数集.)(,时过程的称为看成时间若把ttXt状态.)()(11xttxtX时过程处于状态说成是实数.)(,　　　体称为随机过程的　　全所有可能取的一切值的　　对于一切tXTt状态空间((),()),eXeYe12((),(),()),neXeXeXe12((),(),),eXeXe(),eXe((,)(,)),eXettX一维即——随机变量(,)XY即——二维随机变量12(,,)XX即——随机序列12(,,,)nXXXn维即——随机变量((),(,))Xtt即——随机过程给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：更详细的描述：(,),,,,(,),,TXeteStTetSTtTXetXeteStT设是一无限实数集，是对应于和的实数，即为定义在和上的二元函数。若此函数对任意固定的是一个随机变量，定义：则称是随机过程；,(,)TetXet为参数集，对固过程定的和称为的状态；(,)Xet所有可能的值状的全体称为态空间；(,)()XetXt今后将简记为(,),,tXeteStTe对于随机过程进行一次试验，即给定，它是的函数，称为随机过程的样本函数。△当e和t都固定时，X(e,t)为一确定的数值，称为样本函数在t处的数值；△当t都固定时，X(e,t)为一随机变量，称为t时刻的状态；而每个可能的取值也称为一个状态。例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：1(),()()2(),,costHXttPHPTtTXtt当出现，其中当出现则是一随机过程。,()tXtcostt解：对任意固定的是随机变量，取值为和1234()Xt1()Xt2()Xtt1(())(())2PXtcostPXtt12(),()XtcostXtt此随机过程的样本函数只有两个，即随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：连续参数连续型的随机过程；连续参数离散型的随机过程；离散参数离散型的随机过程，也称为随机序列；离散参数连续型的随机过程，也称为随机序列；随机过程的统计描述分布函数两种描述特征数121212121122121(2,3,),,(),(),(),(,,,,)(),(),(),1,2,(),(,,;nnXnnnniXnnntttTnXtXtXtFxxxtttPXtxXtxXtxxRinXttTFxxnxt为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系，一般地，对任意个不同的时刻，引入维随机变量它的分布函数记为：；，称为随机变分量的维布函数2,,)(),nitttTXttTn称为的维分布函数族1212(,,;,,),1,2,(),XnniFxxxtttntTXttT有限维分布一般地，称为随机过程的它完全确定了随机过程函数族的统计特性(),,,()(,)()(),(,),XXXttTtTXttFxtPXtxxRXttTFxttT设随机过程对每一固一维分布函数定的随机变量的分布函数与有关，记为，，称它为随机过程的称为一维分布函数族二有限维分布族设表示一个随机过程，（t1为任意时刻）是一个随机变量。F1（x1，t1）=P{≤x1}是的一维分布函数如果存在则称之为的一维概率密度函数)(t)(1t)(1t)(t),(),(1111111txfxtxF)(t的n维分布函数n维概率密度函数或分布密度n越大，Fn，fn描述的统计特性就越充分nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)({),,,;,,,(22112121nnnnnxxxtttxxxF212121),,,;,,(),,,;,,(2121nnntttxxxf)(t)(t例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：12cos1(),()(),2()(1)(;0)(;1);(2)(,;0,1);tHXttPHPTtTXtFxFxFxx出现，设出现试确定的：一维分布函数，二维分布函数1(0)0HXT出现解：出现001(;0)01211xFxxx故1(1)1HXT出现出现011(;0)11211xFxxx故1,1(0),(1)0,1HXXT出现出现121212121201101(,;0,1)111xxxxFxxxx且或故且其他2(),,[0,1]30,,,,()442XtVcosttVtXt例：设随机过程，在上均匀分布求在时的密度函数。,0,tcostacost解：对给定的若记，()XtaV则的密度函数为：1011;0XVxxaafxtfaa其他01acos101;00Xxfx于是其他2,42acos220;240Xxfx其他23,42acos2203;240Xxfx其他1,acos110;0Xxfx其他0,2acos012PX▲有限维分布函数族具有如下性质：1）对称性：对1,2,…,n的任意一个排列j1,j2,…,jn，有),,,;,,,(),,,;,,,(21212121nnjjjjjjnntttxxxFtttxxxF因为))(,,)(,)({})(,,)(,)({22112211nnjjjjjjnnxtXxtXxtXPxtXxtXxtXP2）相容性：对mn，有),,,;,,,,,,(),,,;,,,(21212121nmmmtttxxxFtttxxxF例6随机过程X(t)=A+Bt，t≥0，其中A和B是相互独立的，分别服从正态分布N(0,1)。求X(t)的一维和二维分布。解：由已知条件，对任意取值t，X(t)是一正态分布。因为221))((,0))((tDBtDAtXDtEBEAtXE所以X(t)具有正态分布N(0,1+t2)。故X(t)的一维分布为正态分布N(0,1+t2)。下面求二维分布。取两个不同的值t1,t2，则2211)(,)(BtAtXBtAtX可知，(X(t1),X(t2))T服从二维正态分布。因21212121222211211))(())()(())(),(cov(,1)(,1)(,0)(,0)(ttBtABtAEtXtXEtXtXttDXttDXtEXtEX因此，X(t)的二维分布服从均值(0,0)，协方差阵为222121211111tttttt的二维正态分布。例7随机过程X(t)=Acos(t)，-∞t∞，其中A是随机变量，其分布律为Ap1231/31/31/31）求4,xF2)求二维分布3,0,,21xxF解：1）显然，可能的取值为AAX224cos4223,2,2231}3{2234,31}2{24,31}1{224cos224APXPAPXPAPAPXP因此，2/23,12/232,3/222/2,3/12/2,04,xxxxxF2）易知2122112121212},2{2},{}2,{3cos,0cos3,0;,xxxAPxxxAPxAxAPxAxAPxxF因此，2/3,23,2,12/31,232,2,3/212/1,221,2,3/12/1,21,2,03,0;,21212121212121212121212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxF或或或或第2节随机过程的数字特征一、随机过程的数学期望（函数）和方差（函数）1、数学期望：其中F(x,t)是随机过程的一维分布函数。对连续概率分布的情况有：表示X(t)的所有样本函数在t时刻的理论平均值，是一条以t为自变量的固定的曲线。2、方差：常用公式：其中：称为随机过程的均方值。Tt,);()]([)(txxdFtXEtmXTt,);()(dxtxxftmX)(tmX2)]()([)]([)(tmtXEtXDtDXX)(tX)()()]]([[)]([)]([222tmttXEtXEtXDXX二、协方差函数和相关函数1、(自）协方差函数：常用公式：2、（自）相关函数：连续概率分布：相关函数的性质：（1）相关函数是对称的，即（2）相关函数是非负定的。对协方差函数以上两性质同样成立。))(),((),(2121tXtXCovttCX)]}()()][()