2019-2020学年人教A版必修-第二册-9.2.3-总体集中趋势的估计课件

9.2.3总体集中趋势的估计9.2.4总体离散程度的估计1.众数、中位数、平均数定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在中间位置的数(或中间两个数的平均数).(3)平均数:如果n个数为x1,x2,…,xn,那么(x1+x2+…+xn).1xn＝【思考】哪些量能刻画总体取值的特征？提示:平均数、中位数、众数等,都是刻画“中心位置”的量,它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.2.总体集中趋势的估计(1)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.(2)对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”,那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”,那么平均数小于中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.(3)对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均数、中位数;对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用众数.【思考】平均数、中位数、众数对极端值的敏感性如何？提示:因为样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其他数据,所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.所以平均数比中位数更敏感.众数只利用了出现次数最多的那个值的信息,只能传递数据中信息的很少一部分,对极端值不敏感.3.在频率分布直方图中估计平均数、中位数、众数(1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)频数最大的组对应区间中点,作为众数的估计值.【思考】在频率分布直方图中得到的特征量平均数、中位数、众数是样本数据的特征量吗？提示:在频率分布直方图中得到的特征量是样本数据特征量的估计值,近似值,不是精确值.在频率分布直方图中估计样本的特征量,进而用样本估计总体,估计总体的特征量.4.总体离散程度的估计(1)极差一种简单的度量数据离散程度的方法是极差.极差越大,波动范围越大.(2)平均距离假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|xi-|(i=1,2,…,n)作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距离”为xxxxnii11xx.n(3)方差、标准差绝对值改用平方来代替,即=,我们称为这组数据的方差.取它的算术平方根,即,我们称为这组数据的标准差.2nii11(xx)nn22ii11xxnn2ii11xxn（）(4)总体方差、总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=为总体方差,S=为总体标准差.YN2ii11YYN（）2S如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频率为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为___________________.k22iii11SfYYN（）(5)样本方差、样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称______________为样本方差,s=为样本标准差.yn22ii11syyn（）2s【思考】(1)标准差与数据的离散程度有何关系？提示:标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.(2)估计总体的离散程度有哪些方法？提示:平均数,极差,平均距离,总体方差,总体标准差,样本方差,样本标准差等等.一般地,我们用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)中位数一定是数据按从小到大顺序排列后正中间的数.()(2)利用频率分布直方图计算出的样本的平均数、中位数、众数是样本的真实数据.()(3)标准差越大,样本数据越集中.()提示:(1)×.也可能是中间两个数的平均数.(2)×.是估计值,不是真实数据.(3)×.标准差越大,样本数据越分散.2.一组数据为1,1,3,3,则这组数据的众数和中位数分别是()A.1或3,2B.3,2C.1或3,1或3D.3,3【解析】选A.数据1,1,3,3中,1和3都出现了2次,出现的次数最多,则众数是1或3;最中间的两个数是1与3,则中位数是2.3.甲、乙两名射击运动员,在一次连续10次的射击中,他们所射中环数的平均数一样,但方差不同,正确评价他们的水平是()A.因为他们所射中环数的平均数一样,所以他们水平相同B.虽然射中环数的平均数一样,但方差较大的,潜力较大,更有发展前途C.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较稳定,更有发展前途D.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较不稳定,忽高忽低【解析】选C.由平均数、方差的意义可知选C.类型一众数、平均数、中位数的计算【典例】1.为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50m.由此可推断我国13岁男孩的平均身高为()A.1.57mB.1.56mC.1.55mD.1.54m2.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A.85,85,85B.87,85,86C.87,85,85D.87,85,90【思维·引】1.求出500个男孩总的身高,除以500可得答案.2.分别找出甲,乙两组数据的中位数.【解析】1.选B.因为从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60m,从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50m,所以这500个13岁男孩的平均身高是=1.56,所以由此可推断我国13岁男孩的平均身高为1.56m.1.63001.52005002.选C.从小到大列出所有数学成绩:75,80,85,85,85,85,90,90,95,100,观察知众数和中位数均为85,计算得平均数为87.【类题·通】平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的;计算众数、中位数时,可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,再根据各自的定义计算.提醒:如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在较大的极端值.【习练·破】已知一组数据按从小到大排列为-8,-1,4,x,10,13且这组数的中位数是7,那么这组数据中的众数是()A.7B.6C.4D.10【解析】选D.因为共有六个数,因此,当按从小到大的顺序排列后,中位数等于最中间两数的平均数,因此,x=10.所以众数为10.【加练·固】一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为22,则x=________.【解析】由题意知=22,则x=21.答案:21x232类型二总体集中趋势的估计【典例】1.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.(1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数.(2)估计高一参赛学生的平均成绩.2.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分,将用户和满意度分为三个等级:估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.世纪金榜导学号满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意【思维·引】1.分析频率分布直方图和众数、中位数、平均数概念求解.2.结合题中数据作出B地区的频率分布直方图再求解.【解析】1.(1)由图可知众数为65,因为第一个小矩形的面积为0.3,所以设中位数为60+x,则0.3+x×0.04=0.5,得x=5,所以估计中位数为60+5=65.(2)由已知,平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,所以估计平均成绩为67.2.(1)作出频率分布直方图如图:通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.理由:记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.【内化·悟】如何用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数？提示:(1)众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.(2)中位数:在频率分布直方图中,把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标作为中位数.(3)平均数:平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.【类题·通】1.频率分布直方图的性质(1)小长方形的面积=组距×=频率.(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高=,所有小长方形的高的和为.频率组距频率组距1组距2.要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系.【习练·破】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数.(2)求这次测试数学成绩的中位数.(3)求这次测试数学成绩的平均分.【解析】(1)由图知众数为=75.(2)由图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.40.5,所以中位数位于第四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x≈73.3.70802＋(3)由图知这次数学成绩的平均分为:×0.005×10+×0.015×10+×0.02×10+×0.03×10+×0.025×10+×0.005×10=72.40502＋50602＋60702＋70802＋80902＋901002＋【加练·固】某市对市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.【解析】(1)如题图所示,用水量在[0.5,3)的频率的和为:(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=0.85.用水量小于等于3立方米的频率为0.85,又w为整数,故为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为3.(2)当w=3时,该市居民该月的人均水费估计为:(0.2×1+0.3×1.5+0.