数学史-第02讲-数的发展史剖析

数的发展史从小学到大学我们学习数的过程为：自然数分数小数有理数实数复数自然数概念的形成数，作为人类对物体结合的一种性质的认识，是以长期经验为依据的历史发展结果。此过程分为4个阶段：（1）“多少”概念的形成。（2）对应关系的建立与集合间等数性的发现。（3）对自然数“后继性”的认识。（4）科学技术法的确立。零的认识“0”产生于其它整数之后，它的产生不是表示“无”，而是为了填补十进制计数法的空位，使十进制计数法得到完善。纵观所有的国家，都没有产生表示“无”的数来，是因为人们并不把“无”作为一个数量特征来对待。零的作用（1）是一个概念，表示一无所有。（2）在位值计数法中是空位。（3）是一个数，可以参与计算。（4）是标度的起点或分界，如数轴上的零，气温的零度。零的历史零从占位符到一个数的认识这种观念引发了全球很多思想家的想象。（1）首先是巴比伦人设计出表示某个位数不存在的符号，但巴比伦人没有发明零，顶多留出空位，不表示一个数。（2）印度人对零的最大贡献是承认它不仅是一个数，而且还是空位或一无所有，该思想在公元前3世纪出现。（3）欧洲人对零的认识较晚，是由航海家们将婆罗摩及多及其同行的著作带到欧洲而得到传播的。（4）公元879年，零的写法几乎与我们现在的写法相同，是一个椭圆。分数分数是在自然数之后产生的，最初出现的是单分数。古埃及早在公元前1700多年前，已经对单分数有了完整的认识。完整的分数概念是建立在整数之比基础上的，它产生于整数的除法之中。在12世纪出现分数线，后来由斐波那契著《算盘书》介绍阿拉伯数学，把分数线一起介绍到欧洲。小数小数，即不带分母的十进分数，完整称呼是十进小数。小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。小数的产生有两个前提：（1）十进计数法的使用。（2）分数概念的完善。我国对分数的认识中国很早就有合理的分数表示法。在筹算中，除法本身就包含了分数的表示法。在《九章算术》的“方田章”中，就有约分、通分、合分（分数的加法）、减分（分数的减法）、乘分（分数的乘法）、经分（分数的除法）、课分（分数大小的比较）、平分（求分数的平均数）等分数的运算法则。《九章算术》是世界上最早系统叙述分数的著作，比欧洲早1400余年。我国对小数的认识在公元3世纪，刘徽在给《九章算术》作注时，处理平方根的问题时提出了十进分数，是世界上最早的。“…凡开积为方，…求其徽数，徽数无名者，以为分子，其一退十为母，其在退以百为母，退之弥下，其分弥细，…”。此话含十进分数的三层意思：（1）在求一个数的平方根时，如开不尽可继续开方，求其“徽数”，及整数以下小数部分的统称。（2）“徽数”的表示法有两种，一是署名，用比整数单位更小的单位名称表示，二是以十进分数表示。（3）十进分数的表示法具有无限性。我国十进小数的表示法直接影响了印度。欧洲关于十进小数的最大贡献者是荷兰工程师斯台文，是在制造利息表时体会到十进小数的优越性，竭立主张把十进小数引到算术中。小数的现代记法由德国的克拉维斯在1608年的著作《代数学》中公诸于世。负数人们在生活和生产实践中经常会遇到相反意义的量，比如，在记帐时有盈亏，在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便人们就考虑了用相反意义的数来表示，于是就引入了正负数的概念。人们习惯上把“赢利、买进、收入、上升、零上温度”等规定为正，而把“亏损、卖出、支出、下降、零下温度”等规定为负。我国对负数的认识正数和负数这一对概念在我国沿用至今已有两千多年，它是我国数学家对人类数学发展的重要贡献之一。在公元100年时，我国的《九章算术》中明确提出了负数的概念，以及正负数的运算，并在算筹中用红色表示正数，用黑色表示负数。用不同颜色表示正负数的习惯，一直保留到现在。负数的产生，是中算算法思维的产物。在《九章算术》“方程术”中，使用遍乘直除法，会遇到减数大于被减数的情形，自然引入了负数。国外对负数的认识负数在国外得到认识和承认，比中国要晚得多。在印度，数学家婆罗摩及多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根，而欧洲在14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。直到17世纪荷兰人日拉尔才首先认识和解决几何问题。与中国古代数学家不同，西方数学家更多研究负数存在的合理性。负数的产生是解方程的需要，是中算算法思维的产物。如果说中国、印度数学家为负数的引出作出了贡献的话，那在数学上给负数应有的地位是欧洲数学家，主要的有德国数学家魏尔斯特拉斯、戴德金、皮亚诺。无理数的产生公元前500年，毕达哥拉斯的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的边与对角线的长度是不可公度的。这一发现与毕氏学派“万物皆数”的哲理大相径庭，这就使该学派首脑惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希帕苏斯因此被囚禁，最后甚至遭到沉舟身亡的惩罚。不可公度的本质是什么？长期以来众说纷纭，两个不可公度量的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利艺术家达芬奇称之为“无理的数”。17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状的数”。人类对无理数的认识在数学史上具有特别重要的意义，它在希腊数学史上引起了一场大风波，史称“第一次数学危机”。大约在公元前370年，希腊数学家欧多克斯建立起一套完整的比例理论，可以避开无理数这一逻辑上的陷阱，并保留住以往几何中的一些结论，从而暂时解决了由无理数的出现引起的数学危机。但他借助于几何方法避免直接出现无理数而实现的，这就生硬地把数与形肢解开来。无理数只以几何量的形式在几何中是允许的、合法的，在代数中就是非法的、不合逻辑的，即无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。直到18世纪，当数学家证明了一些基本的数如圆周率是无理数时，承认无理数的学者才多起来。直到19世纪下半叶实数理论建立以后，无理数的本质才彻底搞清，从而圆满解决了第一次数学危机。第一次数学危机的冲击第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击，也引起了古希腊人数学观念的更新，造成两方面的冲击：（1）直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此希腊人由重视计算转向重视逻辑和推理，并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学。（2）由于有理数不能包括一切几何量，但几何量可以表示一切数，从而希腊人认为几何比算术有着更重要的地位。整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份提高了，并由此建立了几何公理体系。复数复数起源于求解方程。中学教科书中以在实数集中无解为例引入虚数，这让学生产生误解，认为虚数是这样产生的。实际上，16世纪的二次方程如果没有实根就说它无解，根本不存在研究这种没有意义的实际解答。但当讨论三次方程时，遇到了不可回避的问题，实根必须通过这种虚数来表示。16世纪意大利学者卡当在《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法即卡当公式，是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。21x人们对虚数的认识在数学界引起一片困惑。德国数学家莱布尼兹曾说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的避难所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”瑞士数学家欧拉曾说：“对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得起时间和空间的考验，经过许多数学家的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵－－虚数揭去了神秘面纱。在复数发展过程中，作出重要贡献的数学家有：（1）法国数学家笛卡尔在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，提出虚数这一名称，从此虚数才流传开来。（2）法国数学家棣莫佛在1730年发现著名的棣莫佛定理：（3）瑞士的欧拉在1748年发现著名的欧拉公式，第一次用i表示－1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。（4）德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，虚数能用复平面上的点来表示，建立了复平面，后来又称“阿甘得平面”。（5）德国数学家高斯在1831年用实数组（a,b)代表复数a+bi，并建立了复数的运算，第一次提出复数这个名词。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作一个向量，并利用复数与向量间的一一对应关系阐明了复数的几何加法与乘法，至此复数理论才比较完整和系统地建立起来了。(cossin)cossinninin四元数由于复数能用来表示和研究平面上的向量，而向量在物理学中很重要，如力，速度等。但数学家不久就发现，复数的利用是受限制的。如几个不在同一面上的力作用于同一物体时，就需要复数的一个三维类似物。对复数的类似推广作出重要贡献的是英国数学家哈密顿，提出四元数的概念，形如abcdijk它具有实数和复数的基本性质，但不满足乘法的交换性。四元数是第一次构造的不满足乘法交换律的数系。四元数也称为超复数。它对于代数学的发展来说是革命性的。四元数在数论、群论、量子理论及相对论中有广泛的应用。由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，人们将之称为广义数，将复数和超复数称为狭义数。