弹性力学-ppt第二章(3)

弹性力学讲课教师：刘章军Tel:153374168012013-09前面讲授的主要内容：1、平面问题的基本物理量2、平面问题的基本方程3、平面问题的边界条件4、平面问题的基本内容5、平面问题的基本关系基本物理量xyxy,,xyxy,uv基本物理量注：基本未知量都是位置坐标的函数！xyff,xyff,uv1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE或22()()21(1)111xxyyyxxyxyEEσσσσE物理方程0,0xyxyyxxyffxyxy平衡微分方程,,xyxyuvuvxyyx几何方程基本方程基本方程是共性!应力边界条件位移边界条件注意：面力和应力在不同边界面上的正负号规定不同。记住：面力始终沿坐标正向为正，沿坐标负向为负；应力正面正向为正，负面负向为正，与之相反。边界条件xxyxSSxyyySSlmflmf,uuSSuuvv混合边界条件边界条件是个性!归纳与总结弹性力学问题中的基本内容面力体力给定的位移值域内的位移边界上的位移边界上的应力域内的应力域内的应变外力位移静力平衡几何协调应力物理方程应力边界条件平衡微分方程几何方程位移边界条件归纳与总结弹性力学问题中的基本物理量应同时满足基本方程和边界条件，其解答才是唯一的、精确的。弹性力学问题中的基本关系式第二章平面问题的基本理论至此，已经建立了求解弹性力学平面问题的基本方程和边界条件。在给定的边界条件下，需要求解由8个基本未知量组成的偏微分方程组。问题的实质和核心就是减少基本未知量的个数！通常采用类似于代数方程中的消元法进行求解。§2-4基本解法位移法应力法是以位移分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去应力和应变分量，导出只含位移分量的方程和边界条件。并由此解出位移分量，再求出应变分量和应力分量。是以应力分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去位移和应变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件。并由此解出应力分量，再求出应变分量和位移分量。物理方程平衡方程222211112(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy几何方程0,0xyxyyxxyσσffxyxy222222222222110122()110122xyEuuvfxyxyaEvvufyxxy弹性方程以平面应力问题为例位移边界条件,()uuSSuuvvb应力边界条件xxyxSSxyyySSlmflmf22112(1)xyxyEuvxyEvuyxEvuxy22112()112xSySEuvuvlmfxyyxcEvuvumlfyxxy弹性方程应力表示位移表示用位移表示应力本节小结按位移求解时，位移分量必须满足区域内的基本微分方程(a)和边界条件(b)、(c)。式(a)、(b)、(c)是求解位移分量的条件，也是校核是否正确的全部条件。对于平面应变问题，只要将式(a)、(b)、(c)中的E、分别作替换：2,11EE,uv,uv,uvgxyhgxy()a()b用位移法求解图中问题的位移和应力上端为连杆支承、下端自由的杆件问题。如图(a)所示，只受重力作用。gffyx,0如果两端均为连杆支承的杆件问题。如图(b)所示，其结果又将如何。注意：为简化分析，可假设位移分量：0,()uvvy习题讲解222222222222110122110122xyEuuvfxyxyEvvufyxxy将位移分量代入按位移求解的基本微分方程：0,()uvvy222d(1)dvgyE注意到，可得：gffyx,022(1)2gvyAyBE图(b)中的边界条件：图(a)中的边界条件：基本微分方程边界条件求解微分方程，有：00()0()0yyxyv(混合边界)()0()0yyhyxyh(应力边界)00()0()0yyxyv(混合边界)()0()0yhyxyhv(混合边界)220(1)2ugvyAyBE位移和应力的表达式位移分量2222111102(1)xyyxEuvEAgyxyEvuEAgyyxEvuxy图(b)中的边界条件：图(a)中的边界条件：边界条件00()0()0yyxyv(混合边界)()0()0yyhyxyh(应力边界)00()0()0yyxyv(混合边界)()0()0yhyxyhv(混合边界)应力分量弹性方程图(a)中的解答20(1)2BghAE位移分量应力分量0xyyxghyghy220(1)2ugvhyyE22220xyyxghyghy待定系数图(b)中的解答220(1)22ugvhyyE20(1)BghAE()0xxyyxghya2()20xxyyxghyb讨论与延拓对于左右两个边界面，其应力边界条件为：/2/20,0xxyxbxb根据(a)、(b)中的应力分量：显然，仅当泊松比时，左右边界条件才能满足，此时求得的位移与应力分量才是精确解答。0当泊松比时，上述所求的位移与应力分量都不是精确解答，需要重新假设位移分量，有关这一讨论将在后面进行。0取为基本未知函数应变与位移分量用应力分量来表示,,xyxyσσ应变分量1()1()2(1)xxyyyxxyxyσσEσσEE物理方程(平面应力问题)00xyxxxyyyσfxyσfxy平衡方程用应力表示（需保留）几何方程11(),()2(1)xxyyyxxyxyσσσσEEE22222yxyxyxxy,xyxyuvxyvuxy消除位移物理方程2()(1)yxxyffσσxy平衡微分方程化简22222xy相容方程相容方程用应变表示：用应力表示：（1）区域内的平衡微分方程：（2）区域内的用应力表示的相容方程：（3）边界上的应力边界条件：（4）对于多连体，还须满足位移的单值条件。0,0xyxyyxxyσσffxyxy2()(1)yxxyffσσxy,xxyxxyyySSSSlmflmfσSS,,xyxyσσ按应力求解平面应力问题，应力必须满足:本节小结也是校核应力分量是否正确的全部条件【P33习题2-13(a)】检验应力分量x=y2q/b2，y=xy=0是否为图示平面问题的正确解答。习题讲解【分析】验证一组应力分量是否为给定平面问题的正确解答，需要满足的条件：①区域内的平衡微分方程②区域内的相容方程③全部应力边界上的边界条件④对于多连体，还需满足位移单值条件0xyff注：显然，本例题为单连体，位移单值条件不需要验证！qqqqoyxbbaa尽管应力分量满足平衡微分方程和全部的应力边界条件，但它们不满足相容方程。因此，这组应力分量不是所给平面问题的正确解答。22(),()0()0,()0xxaxyxayxbxyxbyqb))(1()(2yfxfyxyx00xyxxxyyyfxyfxy【解】验证如下：220xyxyyqb平衡微分方程应力分量满足相容方程边界条件0xyff注：不满足满足【结论】归纳与总结弹性力学平面问题的基本理论面力体力给定的位移值域内的位移边界上的位移边界上的应力域内的应力域内的应变外力位移静力平衡几何协调应力物理方程应力边界条件平衡微分方程几何方程位移边界条件归纳与总结弹性力学问题中的基本物理量应同时满足基本方程和边界条件，其解答才是唯一的、精确的。弹性力学问题中的基本关系式1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法作比较。2.若是否可能成为弹性体中的应变？（体力不计）3.若是否可能为弹性体中的应力？,)(,,22xybabxayxyyx,0,,,022xyyxyxbyσaxσff思考与作业0,0xyxyyxxyσσffxyxy(2)平衡微分方程：0)(2yxσσ(1)相容方程：在常体力情况下，均为常数，按应力求解弹性力学两类平面问题时，在区域内应满足的条件：,xyff在常体力时，平衡微分方程的全解可以直接导出。根据微分方程理论，非齐次微分方程的全解是非齐次微分方程的特解和齐次微分方程的通解之和。0,0,xyxyxyyfxf,,0xxyyxyxfyf0,0xyxyyxσσxyxy艾里（Airy）在1862年导出:22222,,xyxyΦΦΦyxxy称为艾里应力函数(,)xy22222,,xyxyΦΦΦyxxyABxy0xyxσxy0xyyσxy()xyxσxy()yxyσyx存在函数(,)Axy存在函数(,)Bxy存在(,)xy存在(,)xy艾里公式的推导BxAyxAσyxyAxxyByyBσx或者222xyxyxy22ΦΦΦσ,σ,τyfxfyxxy222xxyyxy22ΦΦΦσxf,σyf,τyxxy22222()()0xyxyσσσσxy2224220xy本节小结（1）区域内相容方程：（2）全部边界上的应力边界条件（3）对于多连体，还需满足位移单值条件40SS(,)Φxy在常体力下求解两类平面问题，可转变为按应力函数求解，应满足:(,)Φxy求出应力函数后，于是应力分量为：(,)Φxy222xyxyxy22ΦΦΦσ,σ,τyfxfyxxy归纳与总结平面应力问题平面应变问题名称2()(1)yxxyffxy21()1yxxyffxy一般情况222222222()0yyxxxyxyxy常体力22222yxyxyxxy用应变表示44444224(,