1.3.1-1.3.2函数的基本性质

1.3.1函数的单调性观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？实例引入①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x;①从左至右图象上升还是下降?_______②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值_____上升(-∞，+∞)增大（2）f(x)=x2①在区间________上，随着x的增大，f(x)的值____②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值_____减小(-∞，0)增大[0，+∞)从上面的观察分析，能得出什么结论？①不同的函数，其图象的变化趋势不同，②同一函数在不同区间上变化趋势也不同。以上两个函数图像“上升”或“下降”的变化，就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性．图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间(－∞，0]上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小；函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大；用列表法，描述函数f（x）＝x2中x与y的变化趋势2)(xxf函数的单调性如何利用数学语言描述中x与y的变化趋势？在区间（0，+∞）上，任取两个，，得到，当时,有，这时，就说函数在区间（0，+∞）上是增函数．1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf你能仿照这样的描述，说明函数在区间(－∞，0]上是减函数吗？2()fxx12()()fxfx(,0)减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I:函数的单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数（increasingfunction）．21xx)()(21xfxf)(xf21,xx同时，区间D就叫做该函数的一个递增区间一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasingfunction）．21xx)()(21xfxf)(xf21,xx函数的单调性同时，区间D就叫做该函数的一个递减区间(1)在增函数与减函数的定义中，可以把任意两个自变量”改为“存在两个自变量”…………（）(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(-3)f(3)……（）(3)定义在R上导函数f(x)，对任意的x1，x2，都有，则…………()1212()()0fxfxxx(1)(2)(3)fff✘✘√判断：1.函数y＝f(x)，x∈[0，3]的图象如图所示．Oxy123能说该函数在区间[0，3]是增函数吗？概念辨析例1：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2解：y＝f（x）的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].)(xfy递增递增递减递减2.根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．y12345xy=（x）-1OP322.画出反比例函数的图象．（1）这个函数的定义域是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？xy1(,0)(0,)(,0)在单调递减在单调递减(0,)可以说该函数在其定义域内单调递减吗？✘1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．生产效率工人数量OP321.P325.知识小结函数的单调性及单调区间的概念（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1(X∈Z)不具有单调性（2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。（3）一致性增函数：f()f()减函数：f()＞f()1x＜＜1x1x1x2x2x2x2x＜函数的最值观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？（1）f(x)=x;（2）f(x)=x2结合图像分析上两个函数，它们有最大、最小值吗？分别是什么？在定义域内没有最高点，也没有最低点即在定义域内没有最大、最小值在定义域内没有最高点，但有最低点即在定义域内没有最大值、但有最小值图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的，都有xR).0()(fxf1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值2．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=（x）的图象，-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2)(xfy1.可以说该函数在[-5,0]上有最小值吗？2.可以说该函数在[-2,0]上有最大值吗？3.可以说该函数在（-2,0）上有最大值吗？✔✘✔求下列函数的最值245yxx例1：在R上的最值21.342yxx在R上的最值在[1,3]上呢？在[-1,2]上呢？例2.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．12xy解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2)1)(1()]1()1[(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x26,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以，函数是区间[2,6]上的减函数.12xy因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）或者图像求函数的最大(小)值2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；课堂练习1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,49]归纳小结1、函数的最大（小）值及其几何意义．2、如何求函数的最大（小）值．曹家大院某院晋祠鼓楼晋祠硕亭太谷民居门墩石狮子xyOxyOf(x)=x2f(x)=|x|x…-2-1012…y…41014…x…-2-1012…y…21012…2、f(x)与f(-x)的值有什么关系？函数y=f(x)的图象关于y轴对称3、图象对称性如何？1、对定义域中的每一个x，-x是否也在其定义域内？函数y=f(x)的图象关于y轴对称1、对定义域中的每一个x，-x是也在其定义域内；2、都有f(-x)=f(x)函数f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。（2）若f(－1)≠f(1)，则函数f(x)不是偶函数．函数f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。（1）若f(－1)=f(1)，则函数f(x)是偶函数．观察下面两个函数图象及数量关系-30xy123-1-2-1123-2-30xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x1()fxx3210-1-2-3-1x-3-20123f(-3)=-3=……f(-x)f(x)=xf(-1)=-1-f(1)=-f(2)-f(3)=-30xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x函数y=f(x)的图象关于___对称-f(x)原点0xy123-1-2-1123-2-3f(-3)==-f(3)f(-1)=-1=-f(1)……f(-x)=13210-2-3x-1函数f(x)的定义域为A，如果对任意一个x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数f(x)是奇函数。奇函数的定义：函数y=f(x)的图象关于原点对称1f(x)=x1-3121213-1121-3-f(x)不存在非奇非偶函数0xy123-1-2-1123-2-3判断下列函数的奇偶性：y=3x+1y=x2+2x0xy123-1-2-1123-2-3非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数的函数0xy123-1-2-1123-2-3y=00x123-1-2-3123456y2,[1,2]yxx非奇非偶[1,1]x2,[5,]()yxxaa已知在是偶函数，则偶函数5练习P362.1、根据函数的奇偶性，函数可划分为四类（偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数）2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立.3.由定义可知，如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称。反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数。几点说明：判定函数奇偶性基本方法:②定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.①图象法:看图象是否关于原点或y轴对称.例：判断下列函数的奇偶性2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf(1)解：f(x)的定义域为R，关于原点对称∴f(x)偶函数又∵f(-x)=(-x)4=f(x)(3)解：定义域为{x|x≠0}，关于原点对称∴f(x)奇函数又∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)判断下列函数的奇偶性1.y=-x2+3,x∈R;2.f(x)=-x｜x｜;3.y=-2x+5;4.f(x)=x2,x∈{-2,-1,0,1,3};5.y=0,x∈[-2,2];偶函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数既是奇函数也是偶函数16.()(1)1xfxxx练习P361.小组合作探究：已知y=f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+x+1，求函数的表达式。六、课时小结，知识建构奇偶性奇函数偶函数定义设函数y=f(x)的定义域为D，任意x属于D,都有-x属于D。f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)图像性质关于原点对称关于y轴对称判断步骤定义域是否关于原点对称。f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。