《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案全面版

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）【教学目标】1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．2．学会利用公式求一些函数的导数．【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用．【教学过程】一、复习引入：1．/y＝)(/xf＝xxfxxfxyxx)()(limlim00导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值．2．求函数)(xfy的导数的一般方法：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy．（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(．（3）取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim．3．几个用函数的导数（1）0'C(C为常数)（2）1'x（3）xx2)'(2（4）21)'1(xx（5）xx21)'(二、讲解新课：1．为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表．（1）0'C(C为常数)；（2）1)'(nnnxx(Qn)；（3）xxcos)'(sin；（4）xxsin)'(cos；（5）aaaxxln)'(；（6）xxee)'(；（7）exxaalog1)'(log；（8）xx1)'(ln．2．导数运算法则法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux．法则3'2''(0)uuvuvvvv．三、讲解范例：例1求y=x3+sinx的导数.解：y′=(x3+sinx)′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx例2求y=x4－x2－x+3的导数.解：y′=(x4－x2－x+3)′=(x4)′－(x2)′－x′+3′=4x3－2x－1，例3求453223xxxy的导数．解：563'2xxy．例4求2(23)(32)yxx的导数．解：)'23)(32()23()'32('22xxxxy3)32()23(42xxx98182xx．例5y=3x2+xcosx，求导数y′.解：y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx例6y=5x10sinx－2xcosx－9，求y′.解：y′=(5x10sinx－2xcosx－9)′=(5x10sinx)′－(2xcosx)′－9′=5(x10)′sinx+5x10(sinx)′－［2(x)′·cosx+2x(cosx)′］－0=5·10x9sinx+5x10cosx－(121212x·cosx－2xsinx)=50x9sinx+5x10cosx－x1cosx+2xsinx=(50x9+2x)sinx+(5x10－x1)cosx．四、课堂练习：1.求函数的导数.(1)y=2x3+3x2－5x+4解：(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5(2)y=sinx－x+1解：y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1(3)y=(3x2+1)(2－x)解：y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+(3x2+1)(2－x)′=3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9x2+12x－1(4)y=(1+x2)cosx解：y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′=2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx2.填空：(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=()(4x2－3)+(3x2+1)()解：［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′=3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sinx)′=()x2sinx+x3()解：(x3sinx)′=(x3)′sinx+x3(sinx)′=(3)x2sinx+x2(cosx)3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)解：不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)．五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．六、课后作业：（略）．§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【教学目标】1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．2．理解掌握复合函数的求导法则；3．学会利用公式求一些函数的导数．【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则．【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用．【教学过程】一、复习引入：1．常见函数的导数公式：（1）0'C(C为常数)；（2）1)'(nnnxx(Qn)；（3）xxcos)'(sin；（4）xxsin)'(cos；（5）aaaxxln)'(；（6）xxee)'(；（7）exxaalog1)'(log；（8）xx1)'(ln．2．导数的运算法则：法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux．法则3'2''(0)uuvuvvvv．二、讲解新课：1．复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)]([xfy，其中u称为中间变量．2．求函数2(32)yx的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812xyxxxx；方法二：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux，两个导数相乘，得232(32)31812uxyuuxx，从而有xuxuyy'''对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同．3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或f′x((x))=f′(u)′(x)．证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续．因此当Δx→0时，Δu→0．当Δu≠0时，由xuuyxy．且xyuyux00limlim．∴xuuyxuuyxuuyxyxuxxxx000000limlimlimlimlimlim即xuxuyy'''(当Δu＝0时，也成立)4．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．5．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(xy；⑵2sinxy；⑶)4cos(xy；⑷)13sin(lnxy．解：⑴函数32)2(xy由函数3uy和22xu复合而成；⑵函数2sinxy由函数uysin和2xu复合而成；⑶函数)4cos(xy由函数uycos和xu4复合而成；⑷函数)13sin(lnxy由函数uyln、vusin和13xv复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴uycos，21xu；⑵uyln，xuln．解：⑴)1cos(2xy；⑵)ln(lnxy．例3求5)12(xy的导数．解：设5uy，12xu，则xuxuyy''')'12()'(5xux2)12(52534xu4)12(10x．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导．例4求f(x)=sinx2的导数．解：令y=f(x)=sinu;u=x2∴xuxuyy'''=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+3)的导数．分析：设u=sin(2x+3)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+3．解：令y=u2，u=sin(2x+3)，再令u=sinv，v=2x+3∴xuxuyy'''=y′u(u′v·v′x)，∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+3)′x=2u·cosv·2=2sin(2x+3)cos(2x+3)·2=4sin(2x+3)cos(2x+3)=2sin(4x+32)，即y′x=2sin(4x+32)例6求32cbxaxy的导数．解：令y=3u，u=ax2+bx+c，∴xuxuyy'''=(3u)′u·(ax2+bx+c)′x=3231u·(2ax+b)=31(ax2+bx+c)32(2ax+b)=322)(32cbxaxbax，即y′x=322)(32cbxaxbax例7求y=51xx的导数．解：令xxuuy1,5，∴xuxuyy'''=(5u)′u·(xx1)′x4455221(1)(1)11(1)()55xxxxxxxuxxx24654511115(1)5()xxxxx24515()xxx．即y′x=－542)(51xxx例8求y=sin2x1的导数．解：令y=u2，u=sinx1，再令u=sinv，v=x1∴xuxuyy'''·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(x1)′x=2u·cosv·210x=2sinx1·cosx1·21x=－21x·sinx2∴y′x=－21xsinx2例9求函数y=(2x2－3)21x的导数．分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，21x是复合函数，可以先算出21x对x的导数．解：令y=uv，u=2x2－3，v=21x,令v=，ω=1+x2xxvv=()(1+x2)′x=22211122)2(21xxxxx∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x=(2x2－3)′x·21x+(2x2－3)·21xx=4x23232161321xxxxxxx，即y′x=2316xxx．四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)