计算机控制系统(天津大学自动化学院研究生课件)第七章

第七章控制系统设计之多项式方程法何熠本章结构•多项式方程法的相关知识•控制系统设计的多项式方程法•模型匹配控制系统的设计•本章小结本章结构•多项式方程法的相关知识•控制系统设计的多项式方程法•模型匹配控制系统的设计•本章小结多项式方程法采用最小阶的状态观测器，可作为替换极点配置设计的一种方法（多项式方程法可以应用于多输入多输出的系统中，本章只讨论单输入单输出的情况）。多项式方程法的相关知识上一章研究了用极点配置设计状态反馈控制系统，本章使用另一种方法：多项式方程法。首先介绍该方法的相关知识：多项式方程法的相关知识•丢番图方程•希尔维斯特矩阵•方法验证丢番图方程：由脉冲传递函数定义的系统其中假设脉冲传递函数系统是绝对状态可控和绝对可观测的，即A(z)和B(z)在函数中没有零极点相消,这些多项式叫做互质多项式。(z)(z)(z)()YBUAz=1111011()()nnnnnnnnAzzazazaBzbzbzbzb−−−−=++++=++++LL多项式方程法的相关知识A(z)最高阶项的系数是一，为首一多项式。B(z)是m阶的多项式。条件：多项式方程法的相关知识下面定义一个（2n-1）阶多项式：则存在唯一的n-1阶多项式和满足其中叫做丢番图方程。丢番图方程可以通过希尔维斯特矩阵E来求解。()()()()()zAzzBzDzαβ+=120121120121()()nnnnnnnnzzzzzzzzαααααβββββ−−−−−−−−=++…++=++…++()zα()zβ()()()()()zAzzBzDzαβ+=2122012221()nnnnDzdzdzdzd−−−−=++…++多项式方程法的相关知识希尔维斯特矩阵按照互质多项式A(z)和B(z)的系数定义如下：11111111001202110000000001010000000100nnnnnnnnnnnnabaabbababEaabbbabbabb−−−−−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLLLMLMLMMMMLLLLMMMMMMLLLL1111011()()nnnnnnnnAzzazazaBzbzbzbzb−−−−=++++=++++LL互质多项式A(z)和B(z)：希尔维斯特矩阵：多项式方程法的相关知识由定义向量D和M如下：120121120121()()nnnnnnnnzzzzzzzz−−−−−−−−=++++=++++αααααβββββ[]212221TnnDdddd−−=…[]120120TnnnnM−−−−=αα…αββ…β2122012221()nnnnDzdzdzdzd−−−−=++…++M的系数，由下式得出121,,,n−αααL121,,,nβββ−L1MED−=例7-1：对于（2阶的首一多项式）、（1阶多项式）、（3阶多项式），求唯一的一组多项式。满足其中即满足丢番图方程()Az()()zzαβ和()()()()()zAzzBzDzα+β=多项式方程法的相关知识230101()(0.5)()(2)zzzzzzα+α+++β+β+=230101()0.5()2()()()AzzzBzzDzzzzzzαααβββ=++=+==+=+()Bz()Dz由构造希尔维斯特矩阵2()0.5()2AzzzBzz=++=+0.502010.51211010100E多项式方程法的相关知识⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1MED−=E=[0.5020;10.512;1011;0100]E=0.500002.000001.00000.50001.00002.00001.000001.00001.000001.000000inv(E)ans=-0.6667-1.33332.66670.66670001.00000.66670.3333-0.6667-0.166701.0000-1.0000-0.5000由构造希尔维斯特矩阵由得，得即定义，由[]1.210.30.2TM=−10101.2,1,=0.3,0.2ααββ=−==2()0.5()2AzzzBzz=++=+0.502010.51211010100E⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3()Dzz=[]1000TD=[]1010TMααββ=1MED−=()1.2()0.20.3zzzzαβ=−=+用多项式方程法设计调节系统：例7-2：上一章例6-11中设计的调节系统对象是绝对状态可控而且绝对可观测的（分子多项式和分母多项式之间没有相消）。采样周期是0.2秒,T=0.2。20.02(1)(1)zz+−()Yz()Uz()DGz首先回顾一下极点配置设计方法：多项式方程法的相关知识极点配置方法设计：期望闭环极点结合最小阶观测器估计其中的一个反馈的状态变量，最小阶观测器包含观测器误差方程所设计的调节器为：多项式方程法的相关知识10.60.4,zj=+20.60.4zj=−)zzφ(=0.667)24()0.32DzGzz−(=+0.66724()0.32zz−−+20.02(1)(1)zz+−()Yz()Uz极点配置方法如上图所示，反馈脉冲传递函数发挥调节器的作用，下面通过多项式方程法来确定系统闭环传函为()()zzβα⁄()()zzβα⁄2()0.02(1)()(1)BzzAzz+=−()Yz()Uz()()zzβα()0Rz=-+多项式方程法的相关知识2(z)(z)0.02(1)(z)()(1)YBzUAzz+==−2(z)()()0.02(1)()(z)()()()()()(1)()0.02(1)YzBzzzRzAzzBzzzzzαααβαβ+==+−++多项式方程法设计∶为了确定和，解出下面丢番图方程：其中把A(z)和B(z)和D(z)的多项式代入方程，可以得到()zα()zβ()()()()()()()zAzzBzFzHzDzα+β==32012332()()()1.20.52DzFzHzdzdzdzdzzz==+++=−+2()(0.60.4)(0.60.4)1.20.52Hzzjzjzz=−−−+=−+()Fzz=多项式方程法的相关知识H(z)为期望特征多项式F(z)为期望的最小阶观测器的误差多项式232()(21)()(0.020.02)1.20.52zzzzzzzzα−++β+=−+多项式方程法的相关知识由构造一个的希尔维斯特矩阵E：则100.020210.020.021200.020100E⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥⎣⎦2()21()0.02(1)AzzzBzz=−+=+10.250.250.250000137.512.512.537.512.512.537.562.5E−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−⎢⎥−⎣⎦321000.52,1.21ddDMddααββ1010⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦10.250.250.25000.3200010.52137.512.512.537.51.21612.512.537.562.5124MED−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦多项式方程法的相关知识所以10100.32,1,16,24ααββ===−=0101()0.32()2416zzzzzzαααβββ=+=+=+=−设计的反馈调节器控制系统框图：由示例可以看出多项式方程法与在状态空间中通过极点配置和最小阶观测器结合的方法的设计结果相同。()0.66724()()0.32zzzzβ−=α+多项式方程法的相关知识多项式方程法2()0.02(1)()(1)AzzBzz+=−()Yz()Uz0.66724()0.32zz−+()0Rz=-+0.66724()0.32zz−−+20.02(1)(1)zz+−()Yz()Uz极点配置方法本章结构•多项式方程法的相关知识•控制系统设计的多项式方程法•模型匹配控制系统的设计•本章小结基于多项式方程法的控制系统，可以设计为两种不同的系统组态。下面分别介绍两种系统组态的结构框图：控制系统设计的多项式方程法控制系统组态一：一个控制系统，需要有一个可调的，增益这个增益应该被设定成使输入信号是单位阶跃序列时，稳态输出也是单位的。闭环脉冲传递函数0K()rk()yk控制系统设计的多项式方程法2()0.02(1)()(1)BzzAzz+=−()Yz()Uz()()zzβα()Rz-+0K000()()()()()()1()()()()()()()()()()()()BzYzAzKBzzRzAzzzBzKzAzzBzzBzKHzFz=β+αα=α+βα=H(z)为期望特征多项式F(z)为期望的最小阶观测器的误差多项式增益0(1)(1)(1)(1)HFKB=α例7-3：在7-3部分中所考虑的调节系统闭环脉冲传递函数由方程得出：0(1)(1)0.32*16.0606(1)(1)1.32*0.04HFKB===α22()(1)()0.02(1)()1.20.52()()0.52()2416AzzBzzHzzzFzzzzzz=−=−=−+=α=+β=−032(0.32)0.02(1)()()1.20.52KzzYzRzzzz++=−+控制系统设计的多项式方程法由下式得出：0()()()()()()YzzBzKRzHzFzα=0K()()BzAz()Yz()Uz()()zzβα()Rz-+0K采用组态一,例7-3：在7-3部分中所考虑的调节系统闭环脉冲传递函数由方程得出：0(1)(1)0.32*16.0606(1)(1)1.32*0.04HFKB===α22()(1)()0.02(1)()1.20.52()()0.52()2416AzzBzzHzzzFzzzzzz=−=−=−+=α=+β=−032(0.32)0.02(1)()()1.20.52KzzYzRzzzz++=−+控制系统设计的多项式方程法由下式得出：0()()()()()()YzzBzKRzHzFzα=0K20.02(1)(1)zz+−()Yz()Uz0.52zz+24−6()Rz-+6.0606326.0606(0.32)0.02(1)1.20.52zzzzz++−+()Yz()Rz采用组态一,控制系统组态二：系统的闭环传函为()()BzAz()Yz()Uz()()zFzα-+()()zFzβ-++()Rz0K控制系统设计的多项式方程法00()()()()()()()()()()()()()()KYzzAzzRzFzBzFzKFzBzzAzzz=αβ+=α+βΒ由可以得到观测器多项式可以被消掉，并且闭环系统的期望特征多项式由给出，是期望的，可以任意配置。控制系统被设计为n阶（组态系统1中，阶数为2n-1）,同时系统的分子的动态响应在该组态中没有改变。()()()()()()zAzzBzHzFzα+β=00()()()()()()()()KFzBzKBzYzRzHzFzHz==控制系统设计的多项式方程法()Fz()Hz()Hz例7-4：系统，期望极点期望特征多项式期望观测器特征多项式。解得2()0.02(1)()(1)BzzAzz+=−120.60.4,0.60.4zjzj=+=−2()(0.60.4)(0.60.4)1.20.5Hzzjzjzz=−−−+=−+2()Fzz=22()(1)()(0.02)(1)(1.20.52)*zzzzzzzα−+β+=−+()0.32,()2416zzzzαβ=+=−控制系统设计的多项式方程法解丢番图方程将和代入方程，闭环脉冲传递函数可以写成如下形式：为了决定常数,阶跃响应中的为单位值：()zα()zβ002()(0.020.02)()()()1.20.52KBzKzYzRzHzzz+==−+0K()y∞110210lim()lim(1)()(0.020.02)1lim1.20.52118kxxykzYzKzzzzzzK−→∞→→=−+−=−+−==08K=控制系统设计的多项式方程法那么闭环传递函数变成，见控制框图2()0.160.16()1.20.52YzzRz