第二十二章四边形复习课

二十二章回顾与反思张春英任意四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边平行一、四边形的分类及转化知识回顾平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系项目四边形对边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形平行且相等平行且相等平行且四边相等平行且四边相等对角相等邻角互补四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形二、几种特殊四边形的性质：四边形条件平行四边形矩形菱形正方形三、几种特殊四边形的常用判定方法：1、定义：两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、对角线互相平分1、定义：有一外角是直角的平行四边形2、三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形1、定义：一组邻边相等的平行四边形2、四条边都相等的四边形3、对角线互相垂直的平行四边形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2、有一组邻边相等的矩形3、有一个角是直角的菱形四、有关定理：四边形的内角和等于，外角和等于。n边形的内角和等于，外角和等于。360°（n-2）180°360°360°(1)两条平行线之间的垂线段处处相等(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(3)三角形中位线平行且等于底边的一半;其他重要定理：例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求证：∠E=∠FABHFCDEG证明：四边形ABCD是平行四边形AB∥CD=BE=DFAE∥CF=四边形AFCE是平行四边形注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。∠E=∠F典例精析例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。解：延长AD，BC交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四边形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√33221例3：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm,把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。ABCDFEOD解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm则FD=AD–AF=8-x∵在Rt△CDF中，FC=FD+CD222H254解得x=∴x=（8-x）+6222注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。∴AF=FC=,FD=8–x=25474答：折痕的长为7.5cm在Rt△FEH中，EF2=FH2+EH2∴EF2=62+（-）225474∴EF=±7.5(负根舍去）作FH⊥BC于HABCDFEOFOCDAOAD=FO658=FO=154FE=152解法2例4.如图,E为菱形ABCD边BC上的一点，AB=AE，AE交BD于F，∠DAE=2∠BAE(1)求证：EB=FA(2)求∠ABC的度数.ABCDEF(1)证明∵AD//BC,∴∠1=∠BAE1∵AE=AB,∴∠1=∠ABC∴∠ABC=∠DAE=2∠BAE∴∠BAE=∠DBE=∠ADB∴△ABE≌△DAF∴BE=AF(2)解：设∠BAE为x，则∠ABE=∠AEB=2x∴x+2x+2x=180°∴x=36°∴∠ABC=72°例5.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.解：HG=HB.证法1：连结AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形∴∠B=∠G=90°由题意知AG=AB，又AH=AH∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）∴HG=HB证法2：连结GB∵四边形ABCD，AEFG都是正方形∴∠ABC=∠AGF=90°由题意知AB=AG∴∠AGB=∠ABG∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB∴HG=HB例6过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F求证：AP=EFP·ABCDEF证明：连结AC、PC∵正边形ABCD是正方形∴BD垂直且平分AC∴PA=PC∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°∴四边形PECF是矩形∴EF=PC∴AP=EF(1)矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相平分C、对角线互相垂直D、四条边都相等(2)已知矩形的一条对角线与另一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（）A、50°B、60°C、70°D、80°BD1、选择随堂练习(3)菱形的一边和等腰直角三角形的一直角边等长，若菱形有一个角为30°，则菱形的面积与三角形的面积之比是()A.1∶2B.1∶1.5C.1∶1D.3∶４C(4)正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A.四边相等B.对角线垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角C(5)下列命题中，错误的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．三个角相等的四边形是矩形C．矩形的对角线互相平分且相等D．菱形的对角线互相垂直平分B(6)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF。则∠CDF等于（）A.80°B.70°C.65°D.60°D(1)菱形的对角线长分别是6cm,8cm，则菱形的周长是cm,面积是平方厘米.(2)如图在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA，则∠CAE=°EBCAD202422.502、填空