三角函数图像与性质知识点总结和经典题型(已打)

1三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyx2．三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，3．函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。2途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。6．对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。3题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y=31sin（2x+3π）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=31sin（2x+3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin312xyxysin313π纵坐标不变个单位图象向右平移xysin3横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y=31sin（2x+3π）的图象向右平移6π个单位，得y=31sin2x的图象；（2）再将y=31sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=31sinx的图象；（3）再将y=31sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A．（1－y）sinx+2y－3=0B．（y－1）sinx+2y－3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0D．－(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为：y=xcos21，因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和1个单位，因此可得y=)2cos(21x－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－2）+2（y+1）－1=0，即得C选项。题型3：三角函数图象的应用4例4．（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A0，ω0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。解析：根据图象得A=2，T=27π－（－2）=4π，∴ω=21，∴y=2sin（2x+），又由图象可得相位移为－2，∴－21=－2，∴=4.即y=2sin（21x+4）。根据条件3=2sin（421x），∴421x=2kπ+3(k∈Z)或421x=2kπ+32π（k∈Z），∴x=4kπ+6（k∈Z）或x=4kπ+65π（k∈Z）。∴所有交点坐标为（4kπ+3,6）或（4kπ+3,65）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型4：三角函数的定义域、值域例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0≤cosx＜12kπ－2π≤x≤2kπ+2π，且x≠2kπ（k∈Z）。∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－2π，2kπ+2π］且x≠2kπ，k∈Z}。（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－2π，2kπ+2π），k∈Z}。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。图5题型5：三角函数的单调性例6．求下列函数的单调区间：（1）y=21sin（4π－32x）；（2）y=－｜sin（x+4π）｜。分析：（1）要将原函数化为y=－21sin（32x－4π）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+4π）|的图象。解：（1）y=21sin（4π－32x）=－21sin（32x－4π）。故由2kπ－2π≤32x－4π≤2kπ+2π。3kπ－8π3≤x≤3kπ+8π9（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+2π≤32x－4π≤2kπ+2π3。3kπ+8π9≤x≤3kπ+8π21（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－8π3，3kπ+8π9］，递增区间为［3kπ+8π9，3kπ+8π21］（k∈Z）。（2）y=－|sin（x+4π）|的图象的增区间为［kπ+4π，kπ+4π3］，减区间为［kπ－4π，kπ+4π］。-54-347454344-4oyx题型6：三角函数的奇偶性例7．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在，使f（x）是奇函数；④对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，2+kπ（k∈Z）；或者④，2+kπ（k∈Z）解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）6=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+2，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－2，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。题型7：三角函数的周期性例8．设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4)12(f，（1）求、a、b的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(xf。解析：(1))sin()(22xbaxf，T，2，又)(xf的最大值。4)12(f，224ba①，且122cosb122sina4②，由①、②解出a=2,b=3.(2))32sin(42cos322sin2)(xxxxf，0)()(ff，)32sin(4)32sin(4，32232k，或)32(232k，即k(、共线，故舍去)，或6k，33)6tan()tan(k)(Zk。点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。题型8：三角函数的最值例9．（2000京、皖春理，10）函数y＝xxcossin21的最大值是（）A．22－1B．22＋1C．1－22D．－1－227解析：B；221221)4sin(221cossin21xxxy