2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北

试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i为虚数单位，则201111ii=A．-iB．-1C．iD．12．已知21|log,1,|,2UyyxxPyyxx,则UCP=A．1[,)2B．10,2C．0,D．1(,0][,)23．已知函数()3sincos,fxxxxR，若()1fx，则x的取值范围为A．|,3xkxkkZB．|22,3xkxkkZC．5{|,}66xkxkkZD．5{|22,}66xkxkkZ4．将两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A．n=0B．n=1C．n=2D．n35．已知随机变量服从正态分布22N，a，且Ｐ（＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜＜2）＝Ａ．0．6B．0．4C．0．3D．0．26．已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足222fxgxaa（a＞0,且0a）．若2ga，则2f=A．2B．154C．174D．2a7．如图，用K、1A、2A三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且1A、2A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、1A、2A正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为A．0．960B．0．864C．0．720D．0．5768．已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥b．若x,y满足不等式1xy，则z的取值范围为A．[-2，2]B．[-2，3]C．[-3，2]D．[-3，3]9．若实数a,b满足0,0,ab且0ab，则称a与b互补，记22(,),ababab，那么,0ab是a与b互补的A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．即不充分也不必要的条件10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：300()2tMtM，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。11．1813xx的展开式中含15x的项的系数为（结果用数值表示）12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。14．如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系''xOy（其中'y轴一与y轴重合）所在的平面为，'45xOx。（Ⅰ）已知平面内有一点'(22,2)P，则点'P在平面内的射影P的坐标为；（Ⅱ）已知平面内的曲线'C的方程是'2'2(2)220xy，则曲线'C在平面内的射影C的方程是。15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当4n时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n时，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相．邻．的着色方案共有种，（结果用数值表示）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分10分）设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知11.2.cos.4abC（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求cosAC的值17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0200x时，求函数vx的表达式;（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）.fxxvx可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABCABC的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥1AC；（Ⅱ）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值．19．（本小题满分13分）已知数列na的前n项和为nS，且满足：1aa(0)a，1nnarS(nN*，,1)rRr．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若存在kN*，使得1kS，kS，2kS成等差数列，是判断：对于任意的mN*，且2m，1ma，ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论．20．（本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)Aa，2(,0)Aa(0)a连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（Ⅱ）当1m时，对应的曲线为1C；对给定的(1,0)(0,)mU，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得△1FN2F的面积2||Sma。若存在，求tan1FN2F的值；若不存在，请说明理由。21．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()1fxInxx，(0,)x，求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设,kkab(1,2k…，)n均为正数，证明：（1）若1122abab…nnab12bb…nb，则12121nkkknaaa；（2）若12bb…nb=1，则1n121222212.nkkknnbbbbbb参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。AABCCBBDCD二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。11．1712．2814513．676614．（2，2），22(1)1xy15．21，43三、解答题：本大题共6小题，共75分。16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）解：（Ⅰ）22212cos14444cababC2.cABC的周长为1225.abc（Ⅱ）221115cos,sin1cos1().444CCC15sin154sin28aCAc,acAC，故A为锐角，22157cos1sin1().88AA71151511cos()coscossinsin.848816ACACAC17．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）由题意：当020,()60xvx时；当20200,()xvxaxb时设再由已知得1,2000,32060,200.3aababb解得故函数()vx的表达式为60,020,()1(200),202003xvxxx（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003xxfxxxx当020,()xfx时为增函数，故当20x时，其最大值为60×20=1200；当20200x时，211(200)10000()(200)[]3323xxfxxx当且仅当200xx，即100x时，等号成立。所以，当100,()xfx时在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x时，()fx在区间[0，200]上取得最大值1000033333。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）解法1：过E作ENAC于N，连结EF。（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C。又度面ABC侧面A，C=AC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在RtCNE中，cos60CNCE=1，则由114CFCNCCCA，得NF//AC1，又11,ACAC故1NFAC。由三垂线定理知1.EFAC（II）如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME。由（I）知EN侧面A1C，根据三垂线定理得,EMAF所以EMN是二面角C—AF—E的平面角，即EMN，设,045FAC则在RtCNE中，sin603,NEEC在,sin3sin,RtAMNMNANaa中故3tan.3sinNEMNa又2045,0sin,2a故当2sin,452a即当时，tan达到最小值；36tan233，此时F与C1重合。解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(23,2,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,3,0),(0,4,1),ABCAEF于是1(0,4,4),(3,1,1).CAEF则1(0,4,4)(3,1,1)0440,CAEF故1.EFAC（II）设,(04)CF，平面AEF的一个法向量为(,,)mxyz，则由（I）得F（0，4，）(3,3,0),(0,4,)AEAF，于是由,mAEmAF可得0,330,40.0,mAExyyzmAF即取(3,,4).m又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为(1,0,0)n，于是由为锐角可得||cos||||mnmn222316,sin2424，所以2216116tan333，由04，得114，即116tan,333故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值6,319．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）解：（I）由已知1,nnarS可得21nnarS，两式相减可得2111(),nnnnnaarSSra