调和点列性质

EBCDAF调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。定义：直线上依次四点A、B、C、D满足ABADBCDC，则称A、B、C、D四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E则A、D、E、F四点调和。证明:ADEFADAFDEFE、、、四点调和ADDEAFFE①又**ADADACBDDCAFABAFBFCF而**sin**sinBDCBFCSDEBDCDBDCBDCDFESBFFCBFCBFFCVV故①成立。得证！推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆EFDBCA于D、F，交BC与E则A、D、E、F成调和点列。证明：暂略。性质2：112ABCDABADAC、、、调和证明：而即证。推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则ODOBOA2.反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且ODOBOA2，则A、B、C、D四点调和。性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AMMC则必有MC平分BMD，MA外角平分BMD.这是调和点列应用中相当重要的一个性质。112112a+b+c()()()bcABADACaabaabababcbcaabcaabcbcADMBC证明：反证法。反设MC不平分BMD，作MC’平分角BMD交BD与C’，MA’外角平分角BMD交DB延长线与A’，则''MCMA由内角平分线定理，''BCBMCDMD有外角平分线定理，''BABMADMD所以''''BABCADCD②由A、B、C、D成调和点列知BCBACDAD注意到'''BCBCBCBCCDCDBDBD成立'''BABABABAADADBDBD成立所以''BABABCBCBDBDBDBD与②矛盾！所以MC平分BMD，MA外角平分BMDADMBCC'A'