2.7-静电场边界条件

11电电磁磁场场与与电电磁磁波波§§2.7 2.7 静电场的边界条件静电场的边界条件问题的提出问题的提出一般情况下求电位或场强一般情况下求电位或场强两个两个““方程方程””：：无源无源————LaplaceLaplace’’s Equations Equation有源有源————PoissonPoisson’’s Equations Equation边值问题边值问题：在给定：在给定边界边界条件下求解偏微分方程。条件下求解偏微分方程。PoissonPoisson’’s Equation+s Equation+边界条件边界条件LaplaceLaplace’’s Equation +s Equation +边界条件边界条件边界条件的作用：边界条件的作用：确定方程的解中的待定因素；确定方程的解中的待定因素；使方程通解成为适用于具体问题的特解。使方程通解成为适用于具体问题的特解。22电电磁磁场场与与电电磁磁波波什么是边界条件？什么是边界条件？边界条件就是不同介质边界条件就是不同介质((或导体或导体))分界面两侧的分界面两侧的场量之间的关系。场量之间的关系。边界的分类：边界的分类：第第11类类: : 已知整个边界上的电位已知整个边界上的电位DirichletDirichletProblems Problems 狄理赫利问题狄理赫利问题第第22类类: : 已知整个边界上电位的法导已知整个边界上电位的法导Neumann Problems Neumann Problems 纽曼问题纽曼问题第第33类类: : 已知部分边界电位已知部分边界电位++另一部分边界电位法导另一部分边界电位法导Hybrid ProblemsHybrid Problems混合问题混合问题33电电磁磁场场与与电电磁磁波波回忆：静电场中的导体回忆：静电场中的导体““法拉第圆筒法拉第圆筒(Faraday(Faraday’’sCylinder)sCylinder)””试验试验1.1.导体本身：等势体导体本身：等势体2.2.导体表面：导体表面：3.3.导体内部：电场为零导体内部：电场为零00sntEE新问题：静电场中的电介质表面呢？新问题：静电场中的电介质表面呢？电介质表面是否等势面？电介质表面是否等势面？44电电磁磁场场与与电电磁磁波波1.1.电介质的边界条件电介质的边界条件--法向法向利用利用GaussGauss定理定理SSdDsSsnnDD211D12na2na12D1ΔS2ΔS做一个做一个很扁很扁很扁很扁的的““扁扁盒子盒子””————1D122DSSDSDSDSDSnnΔΔΔΔΔ212211------界面上自由电荷面密度界面上自由电荷面密度‘‘nn’’means normal.means normal.55电电磁磁场场与与电电磁磁波波snnDD21naaEaDnnn)()(Esnn11221D12na2na12D1ΔS2ΔS66电电磁磁场场与与电电磁磁波波讨讨论论界面上没有自由电荷时界面上没有自由电荷时————导体表面导体表面snnDD21nnDD21nn2211snD102nDsnn112277电电磁磁场场与与电电磁磁波波2.2.电介质的边界条件电介质的边界条件--切向切向利用势能定理利用势能定理0cldE0ΔΔΔΔ212211lElElElEttttEE212E1E12na1na2做一条做一条““闭合回路闭合回路””————h h 002E1E12na1na21Δl2Δl‘‘tt’’means tangential.means tangential.88电电磁磁场场与与电电磁磁波波或者说：电位是场强的积分计算所得，或者说：电位是场强的积分计算所得，而积分式的值是连续的，不会突变；而积分式的值是连续的，不会突变；故电位分布是连续的，即使在界面上亦如此。故电位分布是连续的，即使在界面上亦如此。0ΔΔ21haaldE““闭合回路闭合回路””h h 00212E1E12na1na21Δl2Δl99电电磁磁场场与与电电磁磁波波电介质的边界条件电介质的边界条件--小结小结1.1.法向：法向：fcnnDD212.2.切向：切向：21EE21fcnn11221010电电磁磁场场与与电电磁磁波波讨论两个问题讨论两个问题边界条件的矢量表达边界条件的矢量表达边界条件中谁减谁的问题边界条件中谁减谁的问题SnDDa)(210)(21EEan1111电电磁磁场场与与电电磁磁波波3. 3. 电介质的边界条件电介质的边界条件‐‐应用应用nnDD21nnEE2211ttEE212221112211coscossinsinEEEE2121tgtg122E1E121212电电磁磁场场与与电电磁磁波波例例2. 2. 求电位时常会用到边界条件求电位时常会用到边界条件已知：导体球，半径已知：导体球，半径aa，球体电位，球体电位UU((基准基准?)?)求：球外的电位？求：球外的电位？分析：分析：对称性？对称性？————球对称！球对称！有几种方法可以求有几种方法可以求““电位电位””？？直接求解直接求解————积分或代数叠加积分或代数叠加场强求电位场强求电位拉氏方程拉氏方程1313电电磁磁场场与与电电磁磁波波解法－解法－11因为因为？？？？？？02球座标系下展开：球座标系下展开：又因为又因为？？？？？？)(r01222drdrdrdr21CrC直接积分得：直接积分得：1414电电磁磁场场与与电电磁磁波波验证：显然在球表面，内外侧的电位是相等的验证：显然在球表面，内外侧的电位是相等的..即：即：确定两个待定常数确定两个待定常数————边界条件边界条件,,UarUarra21CrC002Cr所以，时aUCUar1所以，时211515电电磁磁场场与与电电磁磁波波解法－解法－22利用利用““电位电位””定义定义————电场力做的功电场力做的功rrrdrEldEr场点)(设：导体球带电荷为设：导体球带电荷为QQ?rrEaExyzR球外球外((rara))：：RaQrE20411616电电磁磁场场与与电电磁磁波波?|)(QUrar?)(rrrdrEldEr场点RaQrE2041raUr/)(UaQ04aUQ04思考并验证：思考并验证：QQ‐‐表面电荷密度表面电荷密度电位电位‐‐表面电荷密度表面电荷密度nDn