高中数学《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件2新人教A版必修

2．3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算【课标要求】1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算．【核心扫描】1．向量的坐标表示．(重点)2．向量的直角坐标运算法则．(难点)3．向量的坐标表示与平面内点的坐标．(易混点)自学导引1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个的向量，叫做把向量正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．互相垂直2．平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标如图在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝，则把有序数对叫做向量a的坐标．单位向量xi＋yj(x，y)(2)向量的坐标表示在向量a的直角坐标中，显然有叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示．(3)在向量的直角坐标中，显然有i＝，j＝，0＝(0,0)．xy(1,0)(0,1)a＝(x，y)3．平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝，a－b＝，λa＝．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)终点起点想一想：相等向量的坐标有什么特点？提示(1)相等向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的坐标是相同的，即x1＝x2且y1＝y2.(2)相等向量的起点与终点可以不同，向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．名师点睛1．点的坐标与向量的坐标的区别(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．提醒在平面直角坐标系中，平面内的点，以原点为起点的向量，有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：2．向量的几种运算体系(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算．(2)由产生过程看，先有几何表示下的几何运算，再有字母表示下的运算，最后有坐标运算．在运算过程中三种运算体系相互补充是一个有机的整体．(3)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．题型一平面向量的坐标表示及运算【例1】(1)已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求AB→、AC→、AB→＋AC→、AB→－AC→、2AB→＋12AC→.(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．[思路探索](1)先计算出AB→，AC→，再进行向量的坐标运算；(2)直接利用向量的坐标运算求解．解(1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)．∴AB→＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；AC→＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB→＋AC→＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；AB→－AC→＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2AB→＋12AC→＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【变式1】已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.解(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.题型二平面向量坐标的应用【例2】已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足AP→＝AB→＋λAC→，求实数λ的取值范围．[思路探索]设出P点坐标，运用坐标运算，使点P的横、纵坐标都小于0，便可将问题解决．解设P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)，又AB→＋λAC→＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由AP→＝AB→＋λAC→可得，(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以x－2＝3＋5λy－3＝1＋7λ，即x＝5λ＋5y＝7λ＋4.因为点P在第三象限，所以5λ＋507λ＋40，解得λ－1.故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．规律方法向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．【变式2】已知A(2,4)、B(－4,6)，如果AC→＝32AB→，BD→＝43BA→，求C，D，CD→的坐标．解设C(x，y)，则由AC→＝32AB→得，(x－2，y－4)＝32(－6,2)，解得x＝－7，y＝7，即点C的坐标为C(－7,7)．又设D(m，n)，则由BD→＝43BA→得，(m＋4，n－6)＝43(6，－2)，解得m＝4，n＝103，即D点的坐标为4，103.故CD→＝4，103－(－7,7)＝11，－113.题型三向量坐标运算的综合应用【例3】如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量法证明PA＝EF.审题指导本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA→和EF→的坐标，证明其模相等即可．[规范解答]建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)．设DP→＝λ(λ0)，则F22λ，0，P22λ，22λ，Ea，22λ.(6分)所以EF→＝22λ－a，－22λ，PA→＝－22λ，a－22λ.(8分)因为EF→2＝λ2－2aλ＋a2，PA→2＝λ2－2aλ＋a2，所以EF→＝PA→，即PA＝EF.(12分)【题后反思】平面向量的坐标表示与坐标运算揭示了数学中“数”与“形”之间的内在联系，使我们用向量坐标运算解决平面几何问题．通过建立平面直角坐标系并将有关向量用坐标来表示，即可通过向量的代数运算来解决问题．【变式3】已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以AB→、AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.解∵AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，∴AD→＋BD→＋CD→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得AD→＋BD→＋CD→＝m·AB→＋n·AC→，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，也就是(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，即－12＝m＋2n8＝3m＋4n，解得m＝32，n＝－22.∴AD→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→.误区警示考虑问题不全面而出错【示例】已知A(3,2)、B(5,4)、C(6,7)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标．[错解]设D点的坐标为D(x，y)，则由AB→＝DC→，可得(5－3,4－2)＝(6－x,7－y)，解得x＝4，y＝5.故所求顶点D的坐标为D(4,5)．只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有考虑．[正解]设D点的坐标为D(x，y)．若是平行四边形ABCD，则由AB→＝DC→，可得(5－3,4－2)＝(6－x,7－y)，解得x＝4，y＝5.故所求顶点D的坐标为D(4,5)．若是平行四边形ABDC，则由AB→＝CD→，可得(5－3,4－2)＝(x－6，y－7)，解得x＝8，y＝9.故所求顶点D的坐标为D(8,9)．若是平行四边形ACBD，则由AC→＝DB→得，可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得x＝2，y＝－1.故所求顶点D的坐标为D(2，－1)．综上可得，以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．“求以A、B、C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点的坐标”与“求以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区别的．前者的D点位置确定了，四点A、B、C、D是按同一方向(顺时针或逆时针)排列的，后者的D点位置没有确定，应分三种情况进行讨论．