高中数学导数题型分析及解题方法

第1页共10页导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1．32()32fxxx在区间1,1上的最大值是22．已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c＝6；3．函数331xxy有极小值－1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34yxx在点1,3处的切线方程是2yx2．若曲线xxxf4)(在P点处的切线平行于直线03yx，则P点的坐标为（1，0）3．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为430xy4．求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点P(3,5)的切线；解：（1）123|yk231)1,1(1x/2/23－上，在曲线点－xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200xy①又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000xyx②，由①②联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1第2页共10页（Ⅰ）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：（1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过))1(,1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而过.13)]1(,1[)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即∵124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴.542)(23xxxxf（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当;0)(,322;0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4)1(xff在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2baxxxf由①知2a+b=0。依题意)(xf在[－2，1]上恒有)(xf≥0，即.032bbxx①当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；②当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；③当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b的取值范围是),0[2．已知三次函数32()fxxaxbxc在1x和1x时取极值，且(2)4f．①②第3页共10页(1)求函数()yfx的表达式；(2)求函数()yfx的单调区间和极值；(3)若函数()()4(0)gxfxmmm在区间[3,]mn上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．解：(1)2()32fxxaxb，由题意得，1,1是2320xaxb的两个根，解得，0,3ab．再由(2)4f可得2c．∴3()32fxxx．(2)2()333(1)(1)fxxxx，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx；当11x时，()0fx；当1x时，()0fx；当1x时，()0fx．∴函数()fx在区间(,1]上是增函数；在区间[1,]１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．函数()fx的极大值是(1)0f，极小值是(1)4f．(3)函数()gx的图象是由()fx的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数()fx在区间[3,]nm上的值域为[44,164]mm（0m）．而(3)20f，∴4420m，即4m．于是，函数()fx在区间[3,4]n上的值域为[20,0]．令()0fx得1x或2x．由()fx的单调性知，142n剟，即36n剟．综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n剟．3．设函数()()()fxxxaxb．（1）若()fx的图象与直线580xy相切，切点横坐标为２，且()fx在1x处取极值，求实数,ab的值；第4页共10页（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数()fx总有两个不同的极值点．解：（1）2()32().fxxabxab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）当b=1时，()0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx．不妨设21xx，由))((3)(21'xxxxxf可判断)('xf的符号如下：当时，1xx)('xf＞０；当时，21xxx)('xf＜０；当时，2xx)('xf＞０因此1x是极大值点，2x是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数()fx总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f（x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2．函数的图像为14313xxy(A)3．方程内根的个数为在)2,0(076223xx(B)A、0B、1C、2D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224第5页共10页1．设函数.10,3231)(223abxaaxxxf（1）求函数)(xf的单调区间、极值.（2）若当]2,1[aax时，恒有axf|)(|，试确定a的取值范围.解：（1）22()43fxxaxa=(3)()xaxa，令()0fx得12,3xaxa列表如下：x（-∞，a）a（a，3a）3a（3a，+∞）()fx-0+0-()fx极小极大∴()fx在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减xa时，34()3fxba极小，3xa时，()fxb极小（2）22()43fxxaxa∵01a，∴对称轴21xaa，∴()fx在[a+1，a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxfaaaaa，22min(2)4(2)344faaaaa依题|()|fxa||Maxfa，min||fa即|21|,|44|aaaa解得415a，又01a∴a的取值范围是4[,1)52．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（23－）＝124ab093－＋＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝12－，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：第6页共10页x（－，－23）－23（－23，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－23）与（1，＋），递减区间是（－23，1）（2）f（x）＝x3－12x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－23时，f（x）＝2227＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2题型六：利用导数研究方程的根1．已知平面向量a=(3,－1).b=(21,23).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.解：(1)∵x⊥y，∴xy=0即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.整理后得-k2a+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)·2b=0∵ab=0，2a=4，2b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41t(t2-3)(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=41t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f′(t)=43(t2-1)=43(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(t)+0-0+F(t)↗极大值↘极小值↗当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21.第7页共10页当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=41t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：(1)当k＞21或k＜－21时,方程f(t)－k=0有且只有一解；(2)当k=21或k=－21时,方程f(t)－k=0有两解；(3)当－21＜k＜21时,方程f(t)－k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1．设axxxfa3)(,0函数在),1[上是单调函数.（1）求实数a的取值范围；（2）设0x≥1，)(xf≥1，且00))((xxff，求证：00)(xxf.解：（1）,3)(2axxfy若)(xf在,1上是单调递减函数，则须,3,02xay即这样的实数a不存在.故)(xf在,1上不可能是单调递减函数.若)(xf在,1上是单调递增函数，则a≤23x，由于33,,12xx故.从而0a≤3.（2）方法1、可知)(xf在,1上只能为单调增函数.若1≤)(00xfx，则,))(()(000矛盾xxffxf若1≤)(),())((,)(000000xfxxfxffxxf即则矛盾，故只有00)(xxf成立.方法2：设00)(,)(xufuxf则，,,03030xauuuaxx两式相减得00330)()(xuuxaux020200,0)1)((xauuxxux≥1,u≥1，30,32020auuxx又，012020auuxx第8页共10页2．已知a为实数，函数23()()()2fxxxa（1）若函数()fx的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若'(1)0f，（Ⅰ）求函数()fx的单调区间（Ⅱ）证明对任意的12(1,0)xx、，不等式125|()()|16fxfx恒成立解：3233()22fxxaxxa