机械制图课件 投影法与点线面

第二章正投影法基础2.1投影的形成及常用的投影方法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5直线与平面及两平面的相对位置基本体与几何要素棱线顶点棱面底面母线轴线2·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图中心投影法物体投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。PP投射线投影投影中心投影大小随物体位置改变平行投影法正投影斜投影投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。PP教学楼（透视图）机械零件—箱体（轴测）齿轮（轴测）机械零件图——轴（工程图）阀体（轴测）Pb●APB1●B2●B3●一、点在一个投影面上的投影a●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。2·2点的投影●采用多面投影，可确定点的空间位置。二、点的三面投影投影轴OX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线HWVoXZY三面体投影体系投影面及展开图WHVoX空间点A在三投影面体系上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影a●a●a●A●ZY空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。空间点在三投影面上的展开①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离●●●●XYZOVHWAaaaxaazay●●YZazaXYayOaaxaya●aa⊥OZ轴aay=aaz=x=A到W面的距离Y坐标相等连影垂轴点的投影规律例1：已知点的两个投影，求第三投影。●●aaax●a●●aaaxazaz解法一:解法二:a●通过作45°线使aaz=aax用圆规直接量取aaz=aax三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：B点在A点之前、之右、之下。x坐标大的在左y坐标大的在前z坐标大的在上XYHYWZObabaab空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、B为V面的重影点重影点●●●XYZOVHWAaaa(b’)xaazay●Bbb’’被挡住的投影加()b’’(c’’)a’’abca’’b’’c’’a’b’c’例2：已知各点的两个投影，求其第三投影。(2)ba’b’c’(1)a(c)aaabbb●●●●●●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线垂直于投影面投影重合为一点ab=0积聚性AMB●a≡b≡m●●●●●abαABA●●2.4直线的投影直线倾斜于投影面投影比空间线段ab=ABacos⒉空间直线在三投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）垂直于某一投影面正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）baababbaabba投影面平行线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabb投影面平行线BaHXVb'OabbYA'aW投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)②另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的投影轴。投影面垂直线Hb'XV'aWbOaBAabY一般位置直线投影特性：三个投影都缩短了。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。XVa'WAaOaYBb'bba例3：判断下列直线的位置a'b'aba'b'abb’’a’’例4：已知立体上直线AB、CD的空间位置，在投影图中标注其投影位置，并填空。a’b’c’d’abc（d）(c’’)(d’’)铅垂一般位置Zb’a’c’X0YwcabYHAB是线，反映AB实长；AC是线。反映AC实长正平线a’b’acb’’a’’c’’例5：已知直线AB、AC的两投影，求两直线的第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。水平线二、直线上的点判别方法：ABCVHbccbaa若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=ac/cb定比定理例6：判断点C是否在线段AB上。abcabc①c②abcab●点C在直线AB上点C不在直线AB上例7：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在ab上，故点K不在AB上。还可应用定比定理来解答此题abkabk●●三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置可分为：两直线平行两直线相交两直线交叉（异面）⒈两直线平行空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。投影特性：aVHcbcdABCDbdaabcdcabd例8：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①bdcacbaddbac对于投影面平行线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。例9：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影后可知AB与CD不平行要用两个投影判断空间两直线是否平行时，其中应包括反映实长的投影。HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的投影规律。交点K是两直线的共有点dbaabcdc1(2)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●12●●34●●两直线相交吗？为什么？HV思考：3.两直线交叉（异面）二、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----实形性★平面垂直投影面-----积聚性★平面倾斜投影面-----相似性⒈平面对一个投影面的投影特性⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面投影面垂直面bHBb'Vac''cOacACaYbWabcacbcba积聚性γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影具相似性。铅垂面相似性实形性投影面平行面abcabcabc投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线。Bbb'Vc'cacAC'aaOYWbZ积聚性一般位置平面abcacbabc三个投影都相似。投影特性：XVZa'b'c'AaBbcacbCY三、平面上的直线和点⒈平面上取任意直线判断直线在平面内的依据定理一:若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内.定理二:若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内.abcbcaabcbcadmnnmd例10：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：根据定理一根据定理二例11：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab试想直线mn是否唯一呢?是唯一的！⒉平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●面上取点的方法：首先面上取线②●abcabkcdd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●k●bckadadbcadadbckbc例12：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二例13:已知立体上平面P、Q、R的空间位置，在投影图中标注其投影位置,并填空。r’pr’’q’’水平铅垂侧垂rp’p’’q’q（1）（2）是面是面例14:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。铅垂侧垂2.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行⒈直线与平面平行定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。n●●acbmabcmn例15：过M点作直线MN平行于平面ABC。Abc为平面内的任一直线试想:可作多少条这样的直线MN?无数条!●●正平线例16：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c●bamabcmnn●●●试想:可作多少条这样的直线MN?唯一的一条!⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交其交点是直线与平面的公共点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点;●判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。Pabcmncnbam⑴平面为特殊位置例17：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法XVZa'b'c'AaBbcacbCY（3）直线和平面都在一般位置直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点,且满足投影规律.⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即判别可见性。还可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，其正面投影都积聚成直线。交线为正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图n●m●●例18：求两平面的交线并求MN并判别可见性。⑴bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n●2●n●m●1●⑵cdefababcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不在ΔDEF这个图形内。故ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n●m●