材料力学之内力

SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析本章目的建立求内力的一般方法，细述求杆件横截面上内力的具体步骤；获得内力沿杆件长度方向的变化方程或变化规律图；本章目的获得杆件内力的最大值以及产生位置。掌握求受力体任意截面上内力的一般方法－截面法或分离体法；正确建立杆内力方程并绘制出内力图。理解危险截面的概念并掌握其位置的确定。理解内力与荷载集度间的微分关系；并能熟练运用它们快速作出内力图或校验内力图。了解叠加法与奇异函数法求内力或作内力图的步骤。基本要求熟练用截面法求杆件指定横截面上的内力；SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials一般将横截面上的内力向形心简化杆件横截面上的内力沿欲求内力的横截面a-a假想切开，将杆件分为I、II两部分。取其中任一部分，例如取第I部分为研究对象。另一部分对所取部分的作用用内力F和Mc替代。横截面上内力求解步骤123也可取第II部分，内力为和，其大小与F和Mc相等，方向相反。FcM第二章杆件的内力分析截面上的内力aaFMcIICF’Mc’IIaaaaIICSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力IIIIIFiF1FiFiFMoo内力截面法(MethodofSections)关注一定载荷下，构件中内力、变形、应力和应变的最大值的大小及位置。为此，首先需要内力分析。利用分离体图的平衡条件可求得截面上内力的大小和方向—称为截面法。求内力的一般方法：截面法（分离体法）SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterialsFMcICxyz第二章杆件的内力分析截面上的内力如此，可将内力矢量沿坐标分解如下：FFxx，Fxy，FxzMcMxx，Mxy，Mxz通常在杆件上建立直角坐标系oxyz（右手系），x轴沿杆的轴线，则y－z平面位于杆横截面内。SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力ICFxyFxxFxzMxyMxzMxxxyzICFxyFxxFxzMxyMxzMxxxyzFMcSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力ICFxyFxxFxzMxyMxzMxxxyzFMc0xF0ym利用平衡条件求解0zF0yF0xm0zm4SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力yxzNFSFZM在很多情况下所有外力和截面内力都作用在同一平面内。如图所示，外力都在x－y平面内作用。截面上只有轴力剪力力矩它们也都在x－y平面里，形成与外力平衡的平面力系。这样的问题分析起来比较简单。NFZMSFSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials定义垂直于坐标轴的面称为坐标面。外法线沿坐标轴正向的为正坐标面，反之为负坐标面。由于截面两侧的力和力矩大小相等、方向相反。为使同一截面上内力正负一致，需要对内力予以正、负规定。内力正、负规定第二章杆件的内力分析截面上的内力xyz正z面正x面正y面nxyz负z面n负x面负y面SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials内力正、负规定正面上沿坐标正向、负面上沿坐标负向的内力为正；反之为负。力矩按右手法则判其方向。第二章杆件的内力分析截面上的内力ICxyz正内力正x面xxMxyMxzMxxFxyFxzFSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力xyz同样是正的内力CII负x面xxMxzMxyMxxFxzFxyFSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力xyF表示作用面表示作用方向杆件内力表示方法ICxyz正内力正x面xxMxyMxzMxxFxyFxzFSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析截面上的内力轴力，沿轴线作用剪力,面内作用扭矩，作用在截面内习惯上xxFNFxyFxzFSyFSzFxxMxM弯矩，作用在垂直于截面的面内xyMxzMyMzMICxyz正内力正x面xxMxyMxzMxxFxyFxzFSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials变形：轴向伸长或缩短。拉、压：一对力，大小相等，方向相反，沿轴线作用。1FNFN轴力拉压变形FF外力TT扭矩扭转变形TT外力轴第二章杆件的内力分析四种基本变形变形：相邻截面绕轴线相对转一角度。扭转：一对力偶矩，大小相等，转向相反，作用于端面内。2基本变形基本变形下，内力正负也可按其变形来规定。图中变形状态对应正的内力。SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials变形：相邻面沿力作用方向相对错动。剪切：一对力，大小相等，方向相反，相距很近，沿垂直于杆轴线的横向作用。3变形：相邻面绕截面中性轴转一角度。上下面一个表面凹，一个表面凸。弯曲：一对力偶矩，大小相等，转向相反，作用在杆端部，于杆纵向面内。4第二章杆件的内力分析四种基本变形FsFsFF外力剪力剪切变形连接件（销）MM外力弯矩弯曲变形梁MMSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析基本变形与内力的符号基本变形下，内力正负也可按其变形来规定。(图中均为正）MxMxFNyxFNFNMzxyMzMzyxFSFSFSSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials外力偶矩与轴的传递功率和转速的关系(PowerTransmission)。功率等于力偶矩与角速度的乘积，PTPT260955(rad)(r/min)(rad/sec)sec.nnn/sec{}{}9.55{}kWkNmradPTn功率也可以用马力（PS）来表示，1马力＝0.736kW。第二章杆件的内力分析轴传递的功率TTTT扭矩扭转变形轴SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析常见梁ClassificationofBeamSupports常见梁的形式：简支梁外伸梁悬臂梁连续梁（多跨梁）超静定梁SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials()ZAMxFx第二章杆件的内力分析内力方程，内力图内力方程(EquationofInternalForce)坐标原点一般选在杆端，但并非必须。一般不计杆件的重力，除非特别指出要考虑。杆横截面位置不同，其上内力一般不同。横截面由坐标x定位，因而，内力为x的函数，即(),(),()NNSSZZFFxFFxMMx称此数学描述为内力方程。SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials右图所示长度l的简支梁，右端作用，根据平衡关系易知支座反力BM/,ABBFFMl()/SABFxFMl()(/)ZABMxFxMlx第二章杆件的内力分析内力方程，内力图剪力弯矩xyAFAxxy/ABFMlBABMx/BBFMl()SFx()ZMxSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials若一段杆上外力连续变化，则此段内同一性质的内力可用一个函数描述。否则，需要分段描述。xyBAHMx2CDEHEF()qxx4内力方程的分段描述分段原则：集中荷载（集中力、集中力偶）作用处，分布荷载起止点，支座处作为分段点。第二章杆件的内力分析内力方程，内力图2()SFx2:()CDMx4()SFx4:()EHMx例如SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials如图所示的简支梁，右端为动铰支座，支承在45o的斜面上。在离左端距离为a的地方作用有垂直向下的集中力F。求梁的剪力，弯矩和轴力方程，并作内力图。第二章杆件的内力分析内力分析，例题例题AyxablFCB45oSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials1,求支座反力先将整个梁作为分离体，，，，，，0Am+sin45=0BFaFl2BaFFl0xFcos450AxBFFAxaFFl0yF450sinAyBFFF1()AyabFFFll第二章杆件的内力分析内力分析，例题例题45oFxABCAxFAyFBFSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials2，求内力方程（1）梁的AC段（）以上结果表明轴力FN和剪力FS在AC段为常数。而弯矩M（x）是x的线性函数。0xa0xF0NAxFFNAxaFFFl0yF0SAyFFSAybFFFl0om0AyFxM()ZAybMxFxFxl第二章杆件的内力分析内力分析，例题FNFAyFAxFSMZASJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials（2）梁的CB段（），，，，，，0xF0NAxFFNAxaFFFlaxl0yF0SAyFFFSAyaFFFFl0om0()AyZFxFxaM()()ZAylxMxFxFxaaFl第二章杆件的内力分析内力分析，例题aFAyFAxFNFSMZxFCASJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterialsaxl，，，，，，得到相同的结果。0xF0NBxFFNBxaFFFl0yF0SByFFSByaFFFl0om0()()ZByMxFlx()()ZBylxMxFlxaFl第二章杆件的内力分析内力分析，例题（2）梁的CB段（）CB段的内力也可以从B端起截取长度为l-x的分离体来计算FBylxFNFSMZBFBxSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析内力分析，例题Ayxab45olFCBaF/lFSFNxxxMZ-aF/l-bF/labF/l画内力图SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析内力方程直接写内力方程：因为截面上可以提供轴向、切向和转动约束，与固支端类似。可以将截面看成固支端来确定内力。yxξFM=-FξFS=FFM=FξyxξFS=-FSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析内力方程qξM=-qξ2/2FS=qξqM=qξ2/2FS=-qξξSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析内力方程M*M=M*M=-M*M*SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials剪力、弯矩与（共面）横向分布力间的微分关系xymxF()qxdxq(x)M(x)dM(x)SSF(x)dF(x)M(x)SF(x)c1第二章杆件的内力分析内力的微分关系SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials剪力、弯矩与（共面）横向分布力的关系10yFSdF(x)q(x)dxq(x)M(x)dM(x)SSF(x)dF(x)M(x)SF(x)c1第二章杆件的内力分析内力的微分关系0ddSSSFFFxqSJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials第二章杆件的内力分析内力的微分关系10cm2102dd(d)SMMMFxqxSdM(x)F(x)dx剪力、弯矩与（共面）横向分布力的关系q(x)M(x)dM(x)SSF(x)dF(x)M(x)SF(x)c1SJTU上海交通大学材料力学MechanicsofMaterials同理，轴力与轴向荷载集度，扭矩与相应的荷载集度也有类似的关系。第二章杆件的内力分析内力的微分关系NdF(x