拉普拉斯反变换的部分分式展开

拉普拉斯反变换:部分分式展开法小组成员：杨朦朦、王曼、薛久明、刘影一、部分分式展开法象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式)(sF式中m和n为正整数，且n≥m。)()(sDsNnnnmmmbsbsbasasa......110110分解定理把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。若n=m，则)()()(0sDsNAsF若n＞m，则为真分式。真分式用部分分式展开，需要对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根。D(s)=0的根可以是单根共轭复根重根三种情况。nnnmmmbsbsbasasasDsNsF......)()()(110110二、D(s)=0具有单根的情况如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是p1、p2、…、pn。于是F(s)可以展开为nnpsKpsKpsKsF...)(2211将上式两边都乘以(s-p1)，得)()(1sFps令s=p1，得K1=[(s-p1)F(s)]s=p1)...)((221nnpsKpsKps1K确定待定系数的公式为Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi同理可求得K2、K3、…、Kn例：求F(s)的原函数sssssF10712)(23解：sssssF10712)(23D(s)=0的根为p1=0p2=-2p3=-51K=0.1)5)(2(12ssss0)5)(2(12ssss2K=0.52)5(12ssss3K=-0.65)2(12ssssK1=0.1K3=-0.6K2=0.5综上可知：-0.6e-5tf(t)=0.1+0.5e-2t56.025.01.0)(ssssF三、D(s)=0的具有共轭复根的情况p1=a+jωp2=a-jωK1=[(s-a-jω)F(s)]s=a+jωK2=[(s-a+jω)F(s)]s=a-jωnnpsKpsKpsKsF...)(2211例：求F(s)的原函数523)(2ssssF解：D(s)=0的根为p1=-1+j2p2=-1-j21K=0.5-j0.521213jsjss4525.0je先变形s2+2s+5=0s2+2s+1+4=0(s+1)2+4=0523)(2ssssFp1=-1+j2p2=-1-j22K=0.5-j0.521213jsjss4525.0jexjxejxsincos欧拉公式四、D(s)=0具有重根的情况D(s)应含(s-p1)n的因式现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)=0的三重根，其余为单根，F(s)可分解为niiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(K11=(s-p1)3F(s)|s=p1上式两边都乘以(s-p1)3，则K11被单独分离出来)()(31sFpsniiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(1、K11的求法11K121)(KpsniiipsKps231)()(1321)(Kps上式两边对s求导，则K12被分离出来)]()[(31sFpsdsd1)]()[(3112pssFpsdsdKniiipsKpsKKpsKpssFps23111121132131)()()()()()(2、K12的求法131)(2Kps12KniiipsKpsdsd231)()(1)]()[(21312213pssFpsdsdK3、K13的求法用同样的方法可得niiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(f(t)=tpeK113tpteK112tpetK121121nitpiieK24、D(s)=0具有q阶重根，其余为单根的分解式niiiqqqpsKpsKpsKpsKsF211121)1(111)()(...)()(式中K11=12K13K1)]()[()!1(11111psqqqqsFpsdsdqK……(s-p1)qF(s)|s=p11)]()[(1psqsFpsdsd1)]()[(21122psqsFpsdsd例：求F(s)的原函数32)1(1)(sssF解：D(s)=0的根为p1=-1为三重根p2=0为二重根2212231121213)1()1(1)(sKsKsKsKsKsF首先以(s+1)3乘以F(s)得231)()1(ssFs121ssK11=(s-p1)3F(s)|s=p1=1122213121ssdsdK14621ss=3121ssdsd132ss1)]()[(3112pssFpsdsdK=232)1(1)(sssF同理可求得K21=1K22=-323213)1(1)1(213)(ssssssF所以f(t)=3e-t+2te-t+0.5t2e-t-3+t