线性方程组解的判定与解的结构

***学院数学分析课程论文线性方程组解的判定与解的结构院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名*******年级2009级学号200906034***指导教师**2011年6月1线性方程组解的判定与解的结构姓名******（重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）摘要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系．关键词：矩阵；秩；线性方程组；解引言通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式．1基本性质下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件．对于线性方程组11112211211222221122nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)引入向量112111s，122222s，…12nnnsn，12sbbb方程（1）可以表示为1122nnxxx性质线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn的线性组合.定理1线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵2111212122212nnsssnaaaaaaAaaa与增广矩阵A111212122212nnsssnaaaaaaaaa12sbbb有相同的秩.证明先证必要性，设线性方程组（1）有解，就说说，可以经过向量组1，2，n线性表出．由此立即推出，向量组1，2，n与向量组1，2，n，等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵A与A的列向量组．因此矩阵A与A有相同的秩．再证充分性，设矩阵A与A有相同的秩，就是说，它们的列向量1，2，n与1，2，n，有相同的秩，令它们的秩为r.1，2，n中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设1，2，r是它的一个极大线性无关组．显然1，2，r也是向量组1，2，n，的一个极大线性无关组，因此向量可以经1，2，r线性表出，既然可以经1，2，r线性表出，当然它可以经1，2，n线性表出．因此，方程组（1）有解．证毕定理2对于线性方程组⑴，若()()RARAr，则当r=n时，有唯一解；当rn时,有无穷多解.证明设D是矩阵A的一个不为零的r级子式（当然它也是A的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D位于A的左上角.显然，A的前r行就是一个极大线性无关组，第r+1，…，s行都可以经它们线性表出.因此，方程组⑴与11112211211222221122nnnnrrrnnraxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(2)同解.3当r=n时，由克兰姆法则，方程组(2)有唯一解，即方程组⑴有唯一解.当r﹤n时，将方程组(2)改写为111122111,111211222222,1121122,11rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrrrnnaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxax（3）(3)作为12,rxxx的一个方程组，它的系数行列式D≠0.由克兰姆法则，对于12,rxxx的任意一组值，方程组(3),也就是方程组⑴,都有唯一的解.由于自由未知量12,rxxx可任意取值，所以方程组（1）有无穷多个解．证毕在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步探讨线性方程组解的结构．所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题．上面我们提到，n元线性方程组的解是n维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些问题之间有什么关系呢?我们先看齐次方程组的情形．设111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（4）是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质:性质1两个解的和还是方程组的解．设12,,,nkkk与12,,,nlll是方程组（4）的两个解．这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即10nijjjak（i=1,2,...,s），10nijjjal（i=1,2,...,s），把两个就解的和1122,,,nnklklkl（5）代入方程组，得11()00nnijjijjjjackcakc（i=1,2,...,s）4这说明（5）也是方程组的解．证毕性质2一个解的倍数还是方程组的解．设12,,,nkkk是（4）的一个解，不难看出12,,,nckckck还是方程组的解，因为11()00nnijjijjjjackcakc（i=1,2,...,s）由性质1和性质2得：性质3方程组（4）的解的任一线性组合还是（4）的解．2基础解系定义齐次线性方程组（4）的一组解，若满足1)12,,,r线性无关；2)（4）的任一解可由12,,,r线性表出．则称12,,,r为（4）的一个基础解系．3基础解系的存在性定理1在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr，其中)(ARr()rRA．证：若()RArn，不防设1112121222120rrrrrraaaaaaaaa2，则方程组（4）与方程组11112211,11121122222,1121122,11rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrrnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax（6）同解,用nr组数(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)代入自由未知量11(,,,)rrnxxx，就得到（6）的解，也就是（4）的nr个解111121221222,1,2,,,,,1,0,,0,,,,0,1,,0,,,,0,0,,1rrnrnrnrnrrccccccccc5则12,,,nr为方程组(4)的一个基础解系.ⅰ)12,,,nr线性无关事实上，若11220nrnrkkk，即1122nrnrkkk12*,,*,,,,0,,0,0,0,,0nrkkk比较最后nr个分量，得120nrkkk.因此,12,,,nr线性无关.ⅱ)任取方程组（4）的一个解12,,,nccc，可由12,,,nr线性表出．事实上，由12,,,nr是方程组（4）的解知：1122rrnnrccc也为（4）的解，又1122rrnnrccc=（nrcc,,,*,*,1）它与的最后nr个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即11rnnrcc……．由ⅰ)ⅱ)知，12,,,nr为（4）的一个基础解系．证毕推论任一与方程组（4）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（4）的基础解系．证明：12,,,t为（4）的一个基础解系，12,,,s线性无关，且与12,,,t等价，则st，且i可由12,,,t线性表出，即i也为（4）的解向量．任取方程组（4）的一个解向量，则可由12,,,t线性表出，从而可由12,,,t线性表出．又12,,,t线性无关，所以12,,,t也是基础解系．证毕4基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的nr个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余nr个未知量移到等式右端，再令右端nr个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到nr个解向量612,,,nr，这nr个解向量12,,,nr构成了方程组的基础解系.方程组（4）的任一解即通解可表为1112,,,,tkkkkkP例1求齐次线性方程组1245123412345123453020426340242470xxxxxxxxxxxxxxxxxx的一个基础解系．解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：1103111031112100222142634000312424700000，于是r3)(A，基础解系中有nr=5-3=2个向量．＂于是()3rA，基础解系中有532nr个向量．＂阶梯形矩阵所对应的方程组为124523454530222030xxxxxxxxxx移项，得1245245534532223xxxxxxxxxxx取351,0xx，得一个解向量1(1,1,1,0,0)；取350,1xx，得另一解向量2751(,,0,,1)663.取351,0xx得一个解向量1(1,1,1,0,0)；取350,1xx得一个解向量1751(,,0,,1)663．12,即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为)(212221Pkkkk对于非齐次线性方程组解711112211211222221122nnnnrrrnnraxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（7）令0,1,,iis,得111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（8）称（8）为（7）的导出组．5解的性质性质1设12,为方程组（7）的两个解，则12为其导出组（8）的解．证明112,,,nkkk，212,,,nlll是方程组（7）的两个解，即11,,1,2,...,nnijjiijjijjakbalbis它们的差是12＝1122,,,nnklklkl，显然有111()0,1,2,...,nnnijjjijjijjiijjjaklakalbbis即12=1122,,,nnklklkl是导出组(8)的一个解.证毕性质2设为方程组（7）的一个解，为其导出组（8）的解，则仍为方程组（7）的解．证明设=12,,,nkkk是方程组(7)的一个解，即1(1,2,)nijj