南京市2016-2017学年度第一学期期末检测卷(高一数学)试卷以及答案解析

南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高一数学2017．01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．1．若集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x＋1＞0}，则A∩B＝▲________．2．函数y＝log2(1－x)的定义域为▲________．3．函数f(x)＝3sin(3x＋π4)的最小正周期为▲________．4．若角的终边经过点P(－5，12)，则cos的值为▲________．5．若幂函数y＝xα(α∈R)的图象经过点(4，2)，则α的值为▲________．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为▲________cm2．7．设e1、e2是不共线的向量．若向量e1－4e2与ke1＋e2共线，则实数k的值为▲________．8．定义在区间[0，5π]上的函数y＝2sinx的图象与y＝cosx的图象的交点个数为▲________．9．若a＝log32，b＝20.3，c＝log152，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为▲________．10．若f(x)＝2x＋a·2－x是偶函数，则实数a的值为▲________．11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点．若AE→·DB→＝－2，则AE→·BE→的值为▲________．12．已知函数f(x)对任意实数x∈R，f(x＋2)＝f(x)恒成立，且当x∈[－1，1)时，f(x)＝2x+a．若点P(2017，8)是该函数图象上的一点，则实数a的值为▲________．13．设函数f(x)＝5x2－3x2＋2，则使得f(1)＞f(log3x)成立的x的取值范围为▲________．14．已知函数f(x)＝x－2m，x≥m，－x，－m＜x＜m，x＋2m，x≤－m，其中m＞0．若对任意实数x，都有f(x)＜f(x＋1)成立，则实数m的取值范围为▲________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知sin＋cossin－2cos＝2．（1）求tanα；（）求cos(2－)·cos(－＋)的值．16．（本小题满分14分）EABCD（第11题图）已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，－4)．（1）求(a＋b)·(2a－b)的值；（2）求向量a与a＋b的夹角．17．（本小题满分14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米(a＞2)的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米(0＜x≤1)的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V(x)表示该铁盒的容积．（1）试写出V(x)的解析式；（2）记y＝V(x)x，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（本小题满分16分）（第17题图）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且点P(π6，2)是该函数图象的一个最高点．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若x[－π2，0]，求函数y＝f(x)的值域；（3）把函数y＝f(x)的图像向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在[0，π4]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．（本小题满分16分）如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，ACB＝60．（1）求|AB→|；（2）已知点D是边AB上一点，满足AD→＝λAB→，点E是边CB上一点，满足BE→＝λBC→．①当λ＝12时，求AE→·CD→；②是否存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．ACDE20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝x－a，g(x)＝a|x|，a∈R．（1）设F(x)＝f(x)－g(x)．①若a＝12，求函数y＝F(x)的零点；②若函数y＝F(x)存在零点，求a的取值范围．（2）设h(x)＝f(x)＋g(x)，x∈[－2，2]．若对任意x1，x2∈[－2，2]，|h(x1)－h(x2)|≤6恒成立，试求a的取值范围．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1，2}2．(－∞，1)3．2π34．－5135．126．97．－148．59．c＜a＜b10．111．312．413．(0，13)∪(3，＋∞)14．(0，14)二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为sin＋cossin－2cos＝2，化简得sinα＝5cosα．……………………………2分当cosα＝0时不符合题意，所以cosα≠0，所以tanα＝5．………………………………………………6分（2）cos(π2－α)·cos(－π＋α)＝－sinαcosα……………………………8分＝－sin·cossin2α＋cos2α＝－tanαtan2α＋1…………………………………………12分＝－526．……………………………………………14分16．解：（1）因为a＝(－2，1)，b＝(3，－4)，所以a＋b＝(1，－3)，2a－b＝(－7，6)，……………………4分所以(a＋b)·(2a－b)＝1×(－7)＋(－3)×6＝－25．……………………6分（2）由（1）可知a＋b＝(1，－3)，且a＝(－2，1)，所以|a|＝5，|a＋b|＝10，a·(a＋b)＝－5．……………………9分设向量a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝a·(a＋b)|a|·|a＋b|＝－22．……………………11分因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即向量a与a＋b的夹角为3π4．……………………14分17．解：（1）依题意，y＝x(a－2x)(2a－2x)，x∈(0，1]．………………………………4分（2）y＝V(x)x＝(a－2x)(2a－2x)…………………………………6分＝4x2－6ax＋2a2．因为对称轴x＝34a，且a＞2，所以x＝34a＞32＞1，…………………………8分所以当x＝1，ymin＝4－6a＋2a2．………………………12分答：当x＝1时，y最小，最小值为4－6a＋2a2．…………………………14分18．解：（1）由T＝2πω，得2πω＝π，所以ω＝2．因为点P(π6，2)是该函数图象的一个最高点，且A＞0，所以A＝2．…………2分此时f(x)＝2sin(2x＋φ)．又将点P(π6，2)的坐标代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，得2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝2kπ＋π2，kZ，即φ＝2kπ＋π6，kZ．………………………4分又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6．综上，f(x)＝2sin(2x＋π6)．………………………6分（2）因为x[－π2，0]，所以2x＋π6[－5π6，π6]，………………………8分所以sin(2x＋π6)∈[－1，12]，即2sin(2x＋π6)∈[－2，1]，所以函数y＝f(x)的值域为[－2，1]．………………………10分（3）y＝g(x)＝2sin[2(x－θ)＋π6]＝2sin(2x－2θ＋π6)．………………………12分因为0≤x≤π4，所以π6－2θ≤2x－2θ＋π6≤2π3－2θ，所以π6－2θ≥2kπ－π2，2π3－2θ≤2kπ＋π2，k∈Z，解得－kπ＋π12≤θ≤－kπ＋π3，k∈Z．………………………14分因为0＜θ＜π2，所以k＝0，所以π12≤θ≤π3．………………………16分19．解：（1）因为AB→＝CB→－CA→，………………………2分所以AB→2＝(CB→－CA→)2＝CB→2－2CB→·CA→＋CA→2＝22－2×2×1×12＋12＝3，所以|AB→|＝3．………………………4分（2）解法1：①当λ＝12时，AE→＝12CB→－CA→，CD→＝12(CB→＋CA→)．……………………6分所以AE→·CD→＝(12CB→－CA→)·12(CB→＋CA→)＝12×(12CB→2－12CB→·CA→－CA→2)＝12×(12×22－12×2×1×12－12)＝14．…………………8分②假设存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→．因为BE→＝λBC→，所以AE→＝CE→－CA→＝(1－λ)CB→－CA→．…………………10分因为AD→＝λAB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋λAB→＝CA→＋λ(CB→－CA→)＝λCB→＋(1－λ)CA→．……………………12分所以AE→·CD→＝[(1－λ)CB→－CA→]·[λCB→＋(1－λ)CA→]＝λ(1－λ)CB→2＋(λ2－3λ＋1)CB→·CA→－(1－λ)CA→2＝λ(1－λ)×22＋(λ2－3λ＋1)×2×1×12－(1－λ)×12＝－3λ2＋2λ＝0．………………………14分解得λ＝23或λ＝0．因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，故存在非零实数λ＝23，使得AE→⊥CD→．………………………16分解法2：由（1）得CA＝1，CB＝2，AB＝3，满足CB2＝AB2＋CA2，所以CAB＝90．如图，以A原点，AB边所在直线为x轴，AC边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，1)．……………6分①当λ＝12时，AE→＝(32，12)，CD→＝(32，－1)，则AE→·CD→＝14．………………………10分②假设存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→．因为AE→＝(3(1－λ)，λ)，CD→＝(3λ，－1)，所以AE→·CD→＝－3λ2＋2λ＝0，………………………14分解得λ＝0或λ＝23．因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，所以存在非零实数λ＝23，使得AE→⊥CD→．………………………16分20．解：（1）F(x)＝f(x)－g(x)＝x－a－a|x|．①当a＝12时，由F(x)＝0，得x－12－12|x|＝0．ADBxEyC当x≥0时，x－12－12x＝0，解得x＝1，满足条件．当x＜0时，x－12＋12x＝0，解得x＝13，不满足条件．综上，函数y＝F(x)的零点是1．………………………2分②F(x)＝0，则x－a－a|x|＝0，即a(1＋|x|)＝x．因为1＋|x|≠0，所以a＝x1＋|x|．………………………4分设φ(x)＝x1＋|x|，当x＞0时，φ(x)＝x1＋x＝1－11＋x，所以φ(x)∈(0，1)．………………………6分因为φ(－x)＝－φ(x)，所以φ(x)是奇函数，所以当x＜0时，φ(x)∈(－1，0)．又因为φ(0)＝0，所以当x∈R，φ(x)∈(－1，1)，所以a∈(－1，1)．………………………8分（2）设函数h(x)的最大值和最小值分别是M，N．因为对任意x1，x2∈[－2，2]，|h(x1)－h(x2)|≤6成立，所以M－N≤6．………………………10分解法1：因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝x－a＋a|x|，x∈[－2，2]，所以h(x)＝x－a＋a|x|＝(a＋1)x－a，x≥0，(1－a)x－a，x＜0．①当a＞1时，因为a＋1＞0，所以h(x)在(0，＋∞)单调增；因为1－a＜0，所以h(x)在(－∞，0)单调减．因为h(2)＝a＋2，h(－2)＝a－2，所以h(2)＞h(－2)，所以M＝h(x)max＝h(2)＝a＋2，N＝h(x)min＝h(0)＝－a，所以a＋2－(－a)≤6，解得a≤2．又因为a＞1，所以1＜a≤2．………………………12分②当a＝1时，h(x)＝2x－1，x≥0，－1，x＜0，所以M＝h(x)max＝h(2)＝3，N＝h(x)min＝－1，所以3－(－1)≤6恒成立，所以a＝1符合题意．③