固体理论-6-超导电性的微观理论

固体理论固体理论——超导电性的微观理论超导电性的微观理论主讲翦知渐固体理论-超导电性的微观理论-基本性质第六章超导电性的微观理论第六章超导电性的微观理论BCS理论：第I类超导体的理论模型§1基本性质BCS理论：第I类超导体的理论模型§1基本性质§2BCS约化哈密顿量§3库伯对§4BCS超导理论§5有限温度情况§6氧化物高温超导体固体理论-超导电性的微观理论-基本性质§1基本性质返回低温下直流电阻消失的现象称为超导电性目前发现一半以上的金属和成百上千种合金是超导体，但它们的转变温度般很低直到世纪年代中期未超过的转变温度Tc一般很低，直到20世纪80年代中期未超过30K——常规超导体——BCS理论1986年以来人们发现了一系列新的超导体转变温度T在液1986年以来，人们发现了系列新的超导体，转变温度Tc在液氮区间（~77K），包括四大类：90K的稀土系，110K的铋系，125K的铊系，和135K的汞系。它们都含有铜和氧，因此也总称为铜氧基超导体——高温超导体La2-xSrxCuO4Tc=40KYBaCuOT92KYBa2Cu3O6+xTc=92KBi2Sr2Ca2Cu3O10+xTc=110KTl2Ba2Ca2Cu3O10+xTc=125K……Tl2Ba2Ca2Cu3O10+xTc125K……铜氧化物超导体的相干长度短，各向异性度高，而陶瓷材质很脆，应用受到限制。2008年以来，人们又找到了新的超导体：在Gd1−xThxFeAsO中观察到56K的超导电性，在Tb1−xThxFeAsO中也观察到超过50K的超导电性——铁基超导体固体理论-超导电性的微观理论-基本性质超导体的基本属性返回1超导态是一种新的凝聚态“超导相”：X射线探测下晶格没有变化也没有铁磁反铁磁转变()TT时电子的比热容为有变化；也没有铁磁反铁磁转变；出现超电流——全新的物理性质(a)TTc时，电子的比热容为cS~exp(-Δ/kBT)而在正常态是线性关系：而在正常态是线性关系：cN~kB2T/EF（）——处于新的热力学状态超导体的电子比热容(b)TTc时，超导态的自由能比正常态低，因为必须加磁场Hc才能破坏超Hc(T)=Hc(0)[1-(T/Tc)2]低为须加场c才能坏超导性，使金属恢复电阻，回到正常态。Hc称为临界磁场时超导态与正常态的自由能之差称0K时超导态与正常态的自由能之差称为超导凝聚能——Hc2(0)/8π~10-8eV超导体的临界磁场固体理论-超导电性的微观理论-基本性质2存在能隙根据量子力学单电子可以穿透势垒其隧穿电流应与外加电压返回根据量子力学，单电子可以穿透势垒，其隧穿电流应与外加电压成正比但在超导态下V必须大于Δ/才有氧化物绝缘体但在超导态下，V必须大于Δ/e才有隧穿电流超导体正常金属V超导体的隧道效应说明超导相中激发出一个准粒子至少要Δ能量，即存在能隙——没有δE=0的准粒子外加磁场至少需要Hc才能破坏超导相比热容曲线中的指数因子exp(-Δ/kBT)超导体中的超声衰减与成正比超导体中的超声衰减与exp(-Δ/kBT)成正比……这些都说明了超导相中存在能隙固体理论-超导电性的微观理论-基本性质在超导态下弱磁场不能透入宏观样品内部3迈斯纳效应返回在超导态下，弱磁场不能透入宏观样品内部，超导体对于弱磁场来说是完全抗磁体超导体具有迈斯纳效应的超导体称为第一类超导体。如果在超导态下弱磁场可以透入宏观样品内部而迈斯纳效应具有迈斯纳效应的超导体称为第类超导体若磁场超过Hc，则磁场能透入样品内部，但超导态被破坏如果在超导态下弱磁场可以透入宏观样品内部而不破坏超导性，这类超导体称为第二类超导体迈斯纳效应(4)超导态的物理实质(4)超导态的物理实质能隙的存在说明，电子的能谱在费米面附近发生了变化，因为正常态下费米面附近的电子没有能隙；同位素试验发现超导转变温度与晶格离子的同位素质量有关BCS理论（1957年）认为费米面附近的两个自旋与动量都相同位素试验发现，超导转变温度与晶格离子的同位素质量有关，TcM1/2=常数，说明超导相的转变与电子-声子的互作用有关BCS理论（1957年）认为，费米面附近的两个自旋与动量都相反的电子通过交换虚声子组成了束缚态——库伯对，这样的电子组态构成了超导基态。库伯对比正常态的电子能量低g(0)Δ2，g()而从这个基态激发任何单粒子都至少需要能量Δ来拆开库伯对，因此有了能隙——可以解释所有的超导现象固体理论-超导电性的微观理论-BCS约化哈密顿量§2BCS约化哈密顿量返回考虑电子交换虚声子的有效相互作用111222211,,,,,12effkqkqkqkkHVCCCCσσσσ+++−=∑其中12121,,,2,2222||()()qkkqkqqVDEEσσωω=费米面附近|Ek+q-Ek|ħωq的能壳内，Vk,q0，有效势为吸引势；在能壳外V0有效势是排斥势111,()()qqkqkqEEω+−−由于声学模声子的昀大态密度在ωD附近，可以将Vk,q内厚度随ωq变化的吸引区近似用费米面附近厚度为2ħωD的固定能壳层代替，在能壳外Vk,q0，有效势是排斥势变化的吸引区近似用费米面附近厚度为2ħωD的固定能壳层代替，以简化计算其中ωD是德拜频率，ħωD~10-2eV。对于长波各向同性近似，格1/32,6DDDNckkVωπ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠29ωωω⎧⎪波的色散关系和态密度为：333(2)(2)4*3DVNkVπππΩΩ⎝⎠===3()0DDDgωωωωωω⎪=⎨⎪⎩固体理论-超导电性的微观理论-BCS约化哈密顿量电子之间还存在库仑相互作用，可用屏蔽库仑势描述241πe返回112222112121,,,,,,,22421σσσσσσλπkkqkqkkkqcoulCCCCqeH+−++∑+=从而两个电子间的净相互作用为1112222112,,,,,2214()2kqkqkqkkeH'VCCCCqσσσσπλ+++−=++∑1212,,,2qkkqσσλ+，则电子存在净的吸引作用1222,|4/()kqV|eqπλ+若现在假定在2ħ的能壳外排斥相互作用可以略去而在能壳现在假定在2ħωD的能壳外，排斥相互作用可以略去；而在能壳内，净吸引相互作用可近似取为常数-V，其中V是正量而且仅仅在能壳内V≠01222,4/()kqVeqπλ++这相当于假定V与波矢k的取向无关，相当于取各向同性的s波散射近似——BCS超导体（第一类超导体）其中V是正量，而且仅仅在能壳内V≠0因此有112222111212,,,,,,,12kqkqkkqkkH'VCCCCσσσσσσ+++−=−∑意义：一对电子(k1,σ1)和(k2,σ2)散射后变为(k1+q,σ1)和(k2-q,σ2)，而总波矢守恒：K=k1+k2不变固体理论-超导电性的微观理论-BCS约化哈密顿量相互作用哈密顿量可改写为1∑返回111212111212,,,,,,,12kqKkqKkkqkkH'VCCCCσσσσσσ+++−−−=−∑其中Kk+k令k'k+kk则可将互作用量按总波矢K分类：其中K=k1+k2。令k'=k+q,k=k1,σ1=σ,σ2=σ'H'H'=∑,,,,2KKKk'Kk''Kk'kkk''HHVH'CCCCσσσσσσ++−−=≡−∑∑,,,2kk''σσHK代表总波矢为K的电子对之间的相互作用对于不同的K具有吸引力的电对于不同的K，具有吸引力的电子对数目不一样，可由图中阴影区绕K旋转的相体积得到如果K=0，则得到的相体积昀大，是整个球壳（各个方向）即的散射作用要比的即H'K=0的散射作用要比H'K≠0的散射大得多，可略去K≠0的项固体理论-超导电性的微观理论-BCS约化哈密顿量故可取V'CCCC++∑返回,,,,,,,2k'k''k'kkk''VH'CCCCσσσσσσ++−−=−∑代表准动量相反的电子对的吸引互作用根据泡利不相容原理，自旋平行的电子在空间位置上将被限制靠拢，所以求和式中σ'=σ的项比σ'=-σ的项贡献要小，可以略去，互作用可写为互作用可写为,,,,,,2k'k'kkkk'VH'CCCCσσσσσ++−−−−=−∑,,kkσ再加上电子动能项，可得ˆkkkk'k'kkVHECCCCCCσσσσσσ+++=−∑∑()(),,,,,,,,,2++2kkkk'k'kkkkk'kkkkkk'k'kkk'k'kkkkk'CCCCCCVECCCCCCCCCCCCσσσσσσσσ−−−−++++++↑↑↓↓↑−↓−↓↑↓−↑−↑↓=−∑∑∑∑,kkk做代换(k,k')→(-k,-k')，并且考虑到E-k=Ek即可得到()ˆ+kkkkkk'k'kkHECCCCVCCCC++++↑↑↓↓↑↓↓↑=−∑∑这就是BCS理论用于描述超导基态的哈密顿量(),kkkkkkkkkkkk'↑↑−↓−↓↑−↓−↓↑∑∑固体理论-超导电性的微观理论-BCS约化哈密顿量其基本假定可归结为：返回费米面附近自旋和动量都相反的电子对之间的吸引相互作用是产生超导凝聚的主要原因约定k代表(k,↑)，-k代表(-k,↓)，则BCS哈密顿量可写为ˆ(+)kkkkkk'k'kkHECCCCVCCCC++++−−−−=−∑∑因为超导问题中总粒子数不守恒，我们一般采用如下的BCS约化哈密顿量：,kkkkkkkkkkkk'∑∑化哈密顿量：F,ˆˆ(+)kkkkkk'k'kkkkk'HHENCCCCVCCCCε++++−−−−=−=−∑∑其中εk=Ek–EF代表从费米面算起的自由电子能量吸引互作用V仅在|ε|ħω的区域内不等于零吸引互作用V仅在|εk|ħωD的区域内不等于零选用约化哈密顿，相当于用热力学势代替自由能讨论粒子数可变系统巨正则系综FˆˆHHEN=−集体运动的元激发，在相互作用中，粒子数不守恒讨论粒子数可变系统——巨正则系综固体理论-超导电性的微观理论-库伯对§3库伯对返回现在具体讨论电子对给系统的状态和能量带来的影响，即找到的本征态H考虑0K时在填满的费米球外附加两个电子，假定费米球内的电子可做自由电子处理——费米球存在所起的作用仅仅是限制附加电子进入球内而忽略球内电子散射至球外的情设|F是费米球全满的正常电子基态，两个自旋和动量相反的电子可用C+C+|F来描述但它不是约化哈密顿量加电子进入球内，而忽略球内电子散射至球外的情况子，可用C+kC+-k|F来描述，但它不是约化哈密顿量Fˆˆ(+)kkkkkk'k'kkkkk'HHENCCCCVCCCCε++++−−−−=−=−∑∑的本征态，因为相互作用使得状态发生了改变：(k,-k)散射到了(k',-k')，即状态成为了C+k'C+-k'|F,kkk根据叠加原理，本征态应该是所有k态的线性组合：|()|kkakCCF++−=∑ψ求和时，k应限制于球外吸引区0εkħωD，a(k)为待定系数Fkk固体理论-超导电性的微观理论-库伯对||EHψψ由的本征值可求得两个附加电子的能量：H返回()()()FF2*,||2||kkkkk'kEHakVak'akε==−∑∑ψψ利用变分法，使E取极小值，可得到待定系数a(k)FF考虑到本征态的归一化，还存在变分的约束条件：()2|||1ak∑ψψ()|||1kak==∑ψψ所以必须引入拉氏乘子λ，求表达式的变分极值，得到的方程()2||Eakλ−∑可得到a(k)的方程k()()()F2kk'kakVak'ελ−=∑从而定出λ的值F令()FkkakA≡∑VA代入上面方程可得F再对所有k求和，则对于A的非零解，应有()2kVAakελ=−FD11(0)2kkkkVεωελ=−∑再对所有k求和，则对于A的非零解，应有固体理论-超导电性的微观理论-库伯对将对k的求和换为对ε的积分（其中g(ε)为态密度）：1()gε返回DF01()=d22kkkgωεεελελ−−∑∫考虑到积分区域较窄(~ωD)，态密度g(ε)可以近似用费米面上某考虑到积分区域较窄(ωD)，态密度g(ε)可以近似用费米面上某自旋取向的态密度g(0)代替，因此D0d1=(0)2gVωελ∫02ελ−∫所