-第2章2.2.2第一课时椭圆的简单几何性质课件-新人教A版选修2-1

2．2.2椭圆的简单几何性质温故夯基1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____．椭圆焦点焦距2．写出椭圆的标准方程焦点在x轴上时是_________________．焦点在y轴上时是_________________．3．到两定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离的和等于4的动点M的轨迹方程是___________.x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)y24＋x23＝1)0(12222babyax问题1：观察椭圆的形状，你能从图上看出横坐标x,纵坐标y的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊?oyB2B1A1A2F1F2caba一、椭圆简单的几何性质1、范围：观察图像，容易看出-a≤x≤a,-b≤y≤b从方程上看：oyB2B1A1A2F1F2cab2、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab观察图像：既是轴对称图形也是中心对称图形从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。)0(12222babyax关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称3、椭圆的顶点)0(12222babyax令x=0，得y=b或-b,顶点坐标：（0，b）；（0，-b）令y=0，得x=a或-a,顶点坐标：（a，0）；（-a，0）*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)已知椭圆方程为它的长轴长是：。短轴长是：________。焦距是：.焦点坐标是：。顶点坐标是：。610)0,4(8例1：192522yx)3,0(),0,5(问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？)0(12222babyax椭圆方程ab扁平程度不变越接近0不变越接近a22bacace当且仅当a=b时，c=0,这时两焦点重合，图形变为圆，方程为222ayx越接近a越接近0越接近0越接近1越扁越圆222222222221ababaeabaaceace得，提示：可以由想一想：能否用a和b表示椭圆的离心率e？如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线段或量？提示：a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|.22222cosBOFFBOFace越大，椭圆越圆越小，越小，椭圆越扁越大，2222BOFacBOFac椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围________________________x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点_________________________________轴长长轴A1A2，长度为2a，短轴B1B2，长度为2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)__________________焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：_______，对称中心：____离心率椭圆的焦距与长轴长的比，即e＝___(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)F1(0，－c)，F2(0，c)坐标轴(0,0)cax2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1【思路点拨】化为标准形式→确定焦点位置→求a，b，c→求椭圆几何性质变式：求椭圆4x2＋y2＝1的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例2【思路点拨】因为要求的是椭圆的标准方程，故可以先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.63326231,61距为的连线相互垂直，且焦轴的两个端点轴上的一个焦点，与短）在（；，离心率是）长轴长是（；轴上，）焦点在（的标准方程求适合下列条件的椭圆xeax1591592222xyyx或191822yx如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.∴所求椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.10,303-2222byaxx），设椭圆的方程为），（，（轴上，且焦点坐标为由题意知焦点在，求椭圆的离心率。焦点，若为右，轴的垂线交椭圆于点作左焦点的、如图，过椭圆例01221222230)0(13FPFFPxFbabyax【解析】由题意知点P的坐标为(－c，b2a)或(－c，－b2a)，∵∠F1PF2＝60°，∴2cb2a＝3，即2ac＝3b2＝3(a2－c2)．∴3e2＋2e－3＝0，∴e＝33或e＝－3(舍去)．【解析】∵|PF1|+|PF2|=2a,又∠F1PF2=60°，∴|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=2a|PF2|=a,|PF1|=a,在Rt△PF1F2中，|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，∴1232432322224c3(a)+(2c)=(a)e==,33a3变式如图，已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．由AF1⊥AF2知△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(3＋1)·c，所以离心率e＝ca＝3－1.小结：1.知识小结：（1）学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。（2）研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系2.数学思想方法：（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。（2）分类讨论的数学思想P49A组4,5