第四章-真值函项逻辑

1第四章真值函项逻辑直言命题逻辑的研究对象是基于A、E、I、O四种直言命题的论证形式的有效性分析与评价。这种四种命题通常对应是语言学所讲的陈述句。但是，在自然语言中，并不是所有语句都是陈述句，即并非所有命题都可以化归为这种直言命题形式。语言学家们通常都把语句分为单句和复句。陈述句是单句中的一种主要形式。真值函项逻辑所研究的复合命题正是与复句所对应的。因此，真值函项逻辑的研究对象是复合命题论证的分析与评价。这部分内容已经被现代逻辑学家很好地发展成为现代逻辑的两个演算之一――命题演算。第一节复合命题论证复合命题论证是指前提或结论中至少有一个复合命题的论证。复合命题论证是亚里士多德之后的斯多葛学派所讨论的主要论证类型。复合命题与语言学上所讲的复句相对应，但不是一一对应。语言学家在讨论复句时，区分许多子类型，而逻辑学家在讨论复合命题通常只区分为四种类型即条件命题、否定命题、合取命题、析取命题和等值命题。一、复合命题论证复合命题是指包括一个或一个以上较短命题作为自身的一部分的命题。例如，“高罗佩是《狄公案》的作者，并且高罗佩是荷兰人”。这是一个复合命题，它包括了两个较短的命题：“高罗佩是《狄公案》的作者”和“高罗佩是荷兰人”。这两个命题是通过语词“并且”连接在一起的。借助像“否定”、“析取”、“合取”以及“条件”之类的逻辑联结词，我们就可以把一个或一个以上的较短命题组合在一起形成复合命题。由这些逻辑关系所构成的命题所形成的论证就是复合命题论证。常见的有效复合论证和无效复合论证可分为否定论证、析取论证、合取论证、合取论证、条件论证和二难论证五种形式。有了这些有效论证和无效论证，我们就可以通过它们是否具有与清单中某个论证的相同形式来判定一个具体论证是有效的还是无效的。下列论证清单中，p、q、r均代表命题。它既可以是第二章所讲的直言命题，也可以是本章所讲的复合命题，还可以是第五章将要讲的关系命题。二、否定论证否定论证与否定命题密不可分。否定命题，又称为负命题，是指通过对一个命题通过加上否定逻辑联结词“并非”形成的。否定论证是指只有一个前提和一个结论且前提或结论为两个否定词的论证形式。如下表所示：双重否定论证有效形式一有效形式二¬¬pp∴p∴¬¬p这里，我们用p、q、r等字母来代表一个较短命题。符号“¬”代表是联结词“否定”，读作“非”或“并非”。在汉语中，“……是假的”、“并非……”、“并不是……”、“非……”、“不可能……”、“……，那不是真的”、“……是错误的”、“……是不成立的”等语词都可2以翻译成“¬p”的命题形式。有国内许多逻辑学教科书中，还把具有形式¬p的命题称为负命题。例子请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？孙中山是孙逸仙；因此，孙中山不是孙逸仙，那不是真的。分析首先，我们令“p”代表命题“孙中山是孙逸仙”。然后，我们用“¬p”代表“孙中山不是孙逸仙”，再用“¬”代表“那不是真的”。我们可以得出该论证的形式如下：pp∴¬¬这个论证具有上述双重否定论证形式之二，因此，它是有效论证。思考题识别下列论证的形式，并指出其是否有效？若有必要，请重新排列成标准形式。1.人总是不会死的，这是错误的，因此，人总是会死的。2.有中国人会讲荷兰语，这是因为并不是中国人都不会讲荷兰语。三、合取论证合取论证是指前提或结论有一个合取命题的论证形式。但这种论证并不必然具有两个前提和一个结论，即它可能是只有一个前提和一个结论。如下表所示：合取论证类型形式一形式二形式三形式四形式五形式六有效合取论证(pq)pq¬∧∴¬(pq)qp¬∧∴¬pqpq∴∧pqqp∴∧pqq∧∴pqp∧∴无效合取论证(pq)pq¬∧¬∴(pq)qp¬∧¬∴其中，符号“∧”表示逻辑联结词“合取”，读作“并且”。在汉语中，具有“pq∧”形式的命题通常与表达并列、转折、递进、承接等关系的复句相对应。表达并列关系复句的关联词有：“有的……有的……”、“一方面……一方面……”、“有时候……有时候……”、“那么……那么……”、“既然……又……”、“一边……一边……”、“……也……”、“……又……”、“……还……”、“……同时……”，等等。3表达转折关系复句的关联词有：“……可是……”、“……但是……”、“虽然……可是……”、“虽然……但是……”、“尽管……还……”、“虽然(虽是、虽说、尽管、固然)……但是(但、可是、然而、却)……”、“……却……”、“……不过……”、“……然而……”、“……只是……”，等等。表达递进关系复句的关联词有：“不但……还……”、“不仅……还……”、“除了……还有……”、“不但……而且……”、“不但(不仅、不光)……而且(并且)……”、“不但……还(也、又、更)……”、“……何况……”、“……而且……”、“……况且……”、“……尤其……”、“……甚至……”，等等。表达承接关系复句的关联词有：“……就……”、“……便……”、“……才……”、“……又……”、“……于是……”、“……然后……”、“……接着……”、“首先（起初）……，然后……”、“……从而……”，等等。例子请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？在桌子上有三张牌排成一行，现在我们已知：（1）K右边的两张中至少有一张是A；（2）A左边的两张中也有一张A；（3）方块左边的两张中至少一张上是红桃；（4）红桃右边的两张中也有一张是红桃。请问：昀左边和昀右边的两张牌各是什么？分析首先，让我们先看昀右边这张牌是什么？根据已知条件（1），我们可知昀右边的这张牌是K；根据已知条件（4），我们可知这张牌是红桃，因此，昀右边这张牌是红桃K。其论证是：这张牌是K；这张牌是红桃；因此，这张牌是红桃K。用论证形式来表示，这个论证的形式是：pqqp∴∧这个论证形式是有效的。其次，让我们来看看昀左边这张牌。根据已知条件（3），我们可得知这张牌是方块；根据已知条件（2），我们可知这张牌是A，因此，昀左边的这张牌是方块A。其论证是：这张牌是方块；这张牌是A；因此，这张牌是方块A。用论证形式来表示，这个论证的形式是：4pqpq∴∧这个论证形式是有效的。思考题识别下列论证的形式，并指出其是否有效？若有必要，请重新排列成标准形式。1.鞠实儿和苏天辅都是当代中国逻辑学家，因此，鞠实儿是当代中国逻辑学家。2.并非陈那和墨子都是中国古代逻辑学家，陈那不是中国古代逻辑学家，因此，墨子是中国古代逻辑学家。四、析取论证析取论证是指这样一种论证，它是由两个前提组成，其中一个前提是析取命题，另一个前提是对其中一个析取肢进行否定或肯定的论证。如下图所示：析取论证类型形式一形式二有效析取论证pqpq∨¬∴pqqp∨¬∴无效析取论证pqpq∨∴¬pqqp∨∴¬其中符号“∨”代表逻辑联结词“析取”，读作“或者”。在汉语中，常见的表达析取关系的语词有“……或……”、“或者……或者……”、“……或者……”、“或是……或是……”、“是……还是……”等。从语言学角度来讲，它对应的是相容选择关系复句，因此，在国内许多逻辑学教科书中，具有这种形式的复合命题又通常被称“相容选言命题”。与相容选择关系复句相对应，还有一类不相容选择关系复句，许多逻辑学教科书把这种复句所表达的命题称为“不相容选言命题”。表达这种复句的关联词有“不是……就是……”、“要么……要么……”、“或者……或者……，二者不可得兼”、“宁可……也不……”、“与其……不如……”等等。但这类复句所表达的命题不能简单地表达成“pq∨”。由于p和q不可能同时为真，因此，我们需要借助前面的否定词“¬”和后面将要讲的合取联结词“∧”来表示这类命题的形式。在上述析取论证中，第一个前提是析取命题，第二个前提对其中一个析取肢进行肯定或否定，昀后一个命题是结论。由于这种论证也是三个命题组成，因此，这种论证又被有些逻辑学家称为选言三段论。然而，在自然语言论证中，我们常常遇到的有效论证，但它并不正好与我们给定的形式之一相匹配。我们处理这种情形的办法之一就是，将给定论证翻译成为标准形式之一。这可以通过两种办法来实现：一是用与其逻辑等值的命题来取代前提或结论，这在后面的逻辑等值讨论中进行阐述；二是重新排列前提次序，使得其与标准形式的析取论证相符。5例子请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？李白不可能出生于焉耆碎叶；李白或出生于中亚碎叶，或出生于焉耆碎叶；因此，李白出生于中亚碎叶。分析由于这个论证的选言前提是第二个前提，因此，我们需要重新排排序前提次序，即：李白或出生于中亚碎叶，或出生于焉耆碎叶；李白不可能出生于焉耆碎叶；因此，李白出生于中亚碎叶。这个论证具有形式：pqpq∨¬∴这是有效析取论证的形式一，因此，它是有效的。思考题识别下列论证的形式，并指出其是否有效？若有必要，请重新排列成标准形式。3.艾丽丝没有穿过玻璃房不是真的，因此，艾丽丝穿过了玻璃房。4.艾丽丝遇到了红皇后；或者艾丽丝遇到了红皇后，或者艾丽丝迷了路，因此，艾丽丝迷了路。五、条件论证条件论证与条件命题密不可分。条件命题有广义和狭义之分。广义条件命题包括充分条件命题、必要条件命题和充分条件命题。狭义条件命题仅仅是充分条件命题。在大多数西方逻辑教科书中，条件命题往往指的是后者，因为必要条件命题和充分条件命题都可以用“条件”联结词和其它联结词组合在一起表达。为此，我们这里也采用狭义条件命题概念。条件命题又称为充分条件假言命题或蕴涵命题，是指反对一个命题为真是另一命题为真的充分条件的命题。条件命题的标识词是“如果……，那么……”。其中，省略号部分可以填入不同的命题，所填入的命题可以是直言命题，可以是复合命题，也可以是关系命题。标识词“如果”后面的命题被称为前件，标识词“那么”后面的命题被称为后件。其中，符号“→”表示逻辑联结词“条件”，读作“如果……，那么……”。在汉语中，具有条件命题形式“pq→”通常都与表达条件、假设、因果关系的复句相对应。表达条件关系复句的常用关联词有：“只要……就……”、、“只有……才”、“除非……才（不）……”、“无论（不管，不论）……都……”、“如果……那么……，并且只有……6才……”、“……当且仅当……”、“……若且惟若……”，等等。不过，这里有些关联词表达充分条件，有些表达必要条件，有些表达充要条件。因此，这些复句的命题形式并不总是“pq→”形式。例如，必要条件关系复句“只有p，才q”的命题形式是“qp→”。再如，“p当且仅当q”的命题形式需要借助合取联结词“∧”和条件联结词“→”才能表达，即为形式“(pq)(qp)→∧→”。表达假设关系复句的常用关联词有：“如果（假如、倘若、若、要是、要、若要、假若、如若）……就（那么、那、便、那就、则）……”、“即使（就是、就算、纵然、哪怕、即便、纵使）……也（还、还是）……”、“再……也……”，等等。表达因果关系复句的常用关联词有：“因为（因）……所以（便）……”、“由于……因而……”、“……因此……”、“……故此……”、“……故而……”“之所以……是因为……”、“既然（既是）……就（那就、便、又何必）……”，等等。事实上，这类标识词也是论证标识词。但当它们只是作为子论证时，我们就可以将其视为条件命题。条件论证是指前提或结论中至少有一个条件命题的论证。其论证如下图所示：有效论证分离论证pqpq→∴逆分离论证pqqp→¬∴¬连锁论证pqqrpr→→∴→归谬法ppp→¬∴¬p(qq)p→∧¬∴¬无效论证肯定后件谬误pqqp→∴否定后件谬误pqpq→¬∴¬例子请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？如果你不称职，那么你就看不见新衣；你看见了新衣；因此，你称职。分析我们用p代表“你称职”，p¬代表“你不称职”，q代表“你看见新衣”，q¬代表“你看不见新衣”，那么，上述论证的论证形式如下：pqqp¬→¬∴这是上面的逆分离论证论证形式，是有效的。7例子请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？如果猫多，那么田鼠少；如果田鼠少，那么熊蜂多；因此，如果猫多，那么熊蜂多。分析我们用p、q、r分别代表“猫多”、“田鼠少”、“熊蜂多”，那么，上述论证的形式便是：pqqrpr→→∴→从上表中可以查到，这是一个有效论证形式。