指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

一粒米的故事从前，有一个国王特别喜爱一项称为“围棋”的游戏，于是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的一个心愿.“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我一粒米.”发明者说.“只是一粒米？”国王回答说.“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放满棋盘为止，这就是我的愿望.”国王很高兴.“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了.国王想.于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”……思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？一、指数函数、幂函数、对数函数图像回顾y=bxy=ax指数函数y=ax(a1)图像及a对图像影响一yxO1baa1时，y=ax是增函数，底数a越大，其函数值增长就越快.y=logaxy=logbx对数函数y=logax(a1)图像及a对图像影响二yxOa1时，y=logax是增数，1ab底数a越小，其函数值增长就越快.y=x2y=x3幂函数y=xn(n1)图像及n对图像影响三yxOn0时，y=xn是增函数，且x1时，n越大其函数值增长就越快.1.指数函数y=ax(a1)，对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？答：单调递增二、指数函数、幂函数、对数函数增长比较探究（一）：特殊指、幂、对函数模型的差异对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x0.思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,这三个函数增长的快慢情况如何？借助计算器完成右表自变量x函数值y=2xy=x2(x0)y=log2x············0,21.1490.04-2.3220.61.5160.36-0.73712101.42.6391.960.4851.83.4823.240.8482.24.5954.841.1382.66.0636.761.3793.0891.5853.410.55611.561.7664161653225712849············比较函数y=2x,y=x2,y=log2x图像增长快慢xyo1124y=2xy=x2y=log2x对数函数y=log2x增长最慢，幂函数y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行在(0,2)，幂函数比指数函数增长快。在(2,4),先幂函数比指数函数增长快，然后指数函数比幂函数增长快。在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快。思考:根据图象，不等式log2x2xx2和log2xx22x其中x0，成立的x的取值范围分别如何？•在，有log2xx22x。•在(2,4),有log2x2xx2。(0,2)(4,+)•在，有log2xx22x。•在(2,4),有log2x2xx2。xy=2xy=x20102030405060110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+180100400900160025003600501001.10E+121.13E+15研究函数,填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这二个函数的图象.22,xyyxy=2xy=x2从上面图像发现什么？当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.xy2x22xx2由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”。(1)对数函数增长最慢(2)当自变量x大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快总结规律一粒米的故事结局探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个x0，使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？x3=3yx函数y与图像的交点为（）A.1B.2C.3D.4答案：B一般幂、指、对函数模型的衰减性探究xyo1y=axy=xny=logax在区间(0,,+∞)上,尽管函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与y=xn(n0)都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，y=logax(0a1)的衰减速度越来越快,会超过并远远大于y=ax(0a1)的衰减速度,而y=xn(n0)的衰减速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当xx0时,就会有logaxaxxn。练习0.1100xye20ln100yx20yx自变量x1-99.728172100202-99.261094113.8629436403-97.991446121.9722458604-94.540185127.7258872805-85.158684132.18875821006-59.657121135.835189412079.66331584138.9182031408198.095799141.58883081609710.308393143.9444915180102102.64658146.0517019200函数值20yx特殊指、幂、对函数模型的增长性认识了“指数爆炸”这种现象一般幂、指、对函数模型的增长性运用指、幂、对函数模型的增长性，分析生活问题一般幂、指、对函数模型的衰减性小结:作业：P107习题3.2A组：3.