2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第二章第1讲函数与映射的概念

第二章函数第1讲函数与映射的概念考纲要求考纲研读1.了解构成函数的要素．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．了解映射的概念.函数是特殊的映射，对函数的考查主要为：概念(判断是否为函数或判断两个函数是否相同)、定义域(具体函数或抽象函数)构成映射的个数.1．函数的概念(1)函数的定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都有___________的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为_______________.每一个数x唯一确定y＝f(x)，x∈A(2)函数的定义域、值域的集合{f(x)|x∈A}在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y＝f(x)的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，_________________________称为函数y＝f(x)的值域．(3)函数的三个要素，即_______、_____和____________.2．映射的概念定义域值域对应关系f设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的_____元素，在集合B中都有___________的元素与之对应，那么这样的对应叫做从A到B的映射，通常记为__________.任意唯一确定f：A→B定义域函数值AA．{x|x≥－3}C．{x|x≤－3}B．{x|x－3}D．{x|x－3}2．下列函数中与函数y＝x相同的是()B[－2,2]1．(2011年广东广州调研)函数g(x)＝x＋3的定义域为()A．y＝(x)2B．y＝3x3C．y＝x2D．y＝x2x3．函数y＝4－x2的定义域是___________．4．函数y＝lg(4－x)x－3的定义域是________________.5．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图2－1－1所示四个图象，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是_______(填序号)．②③{x|x4且x≠3}图2－1－1考点1映射与函数的概念例1：(2011年湖南)给定k∈N*，设函数f∶N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为______________；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为_____.解析：(1)由法则f是正整数到正整数的映射，因为k＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f在n＝1处的函数值为任意的a(a为正整数)．(2)因为2≤f(n)≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f的个数等于16.答案：(1)a(a为正整数)(2)16理解映射的概念，应注意以下几点：①集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；③集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；④集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；⑤不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．【互动探究】解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4≥－4，k∈B且k在A中没有没有元素与之对应，则k的取值范围为k－4.A1．已知f∶A→B是集合A到集合B的映射，又A＝B＝R，对应法则f∶y＝x2＋2x－3，k∈B且k在A中没有元素与之对应，则k的取值范围为()A．k－4B．－1k3C．k≥－4D．k－1或k3考点2判断两函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1)f(x)＝x2，g(x)＝3x3；(2)f(x)＝|x|x，g(x)＝1(x≥0)，－1(x0)；(3)f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝2n－1x2n－1(n∈N*)；(4)f(x)＝xx＋1，g(x)＝x2＋x；(5)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.解题思路：要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定义域和对应关系是否相同即可．解析：(1)由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的对应关系不相同，∴它们不是同一函数．(2)由于函数f(x)＝|x|x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝1(x≥0)－1(x0)的定义域为R，∴它们不是同一函数．(3)由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝2n－1x2n－1＝x.它们的定义域、对应关系都相同，∴它们是同一函数．(4)由于函数f(x)＝xx＋1的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2＋x的定义域为{x|x≥0或x≤－1}，它们的定义域不同，∴它们不是同一函数．(5)函数的定义域和对应关系都相同，∴它们是同一函数．【互动探究】2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．例如解析式为y＝2x2＋1、值域为{9}的孪生函数有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的孪生函数共有()CA．5个B．4个C．3个D．2个考点3求函数的定义域A例3：(2011年江西)若函数f(x)＝121log(21)x，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：∵log12(2x＋1)0，∴02x＋11.∴x∈－12，0.求一些具体函数的定义域，有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数保证真数大于零，底数大于零且不等于1.在求定义域的过程中，往往需要解不等式(组)，很多时候需要利用函数的单调性．A3．函数f(x)＝的定义域是()A．(－∞，0]C．(－∞，0)B．[0，＋∞)D．(－∞，＋∞)【互动探究】12x＋lg(1＋x)的定义域是(11－x)4．(2011年广东)函数f(x)＝A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)C解析：1－x≠0，1＋x0⇒x－1且x≠1，则f(x)的定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)．易错、易混、易漏4．对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数f(x)的定义域为[2,3]，则f(x－1)的定义域为________；(2)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为________；(3)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为________，f(2x＋1)的定义域为________；(4)若函数f(x)的值域为[2,3]，则f(x－1)的值域为_______；f(x)－1的值域为________．正解：(1)若函数f(x)的定义域为[2,3]，则f(x－1)有2≤x－1≤3，解得3≤x≤4.即f(x－1)的定义域为[3,4]．(2)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，有1≤x－1≤2.则f(x)的定义域为[1,2]．(3)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为[1,2]．则f(2x＋1)有1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12.即f(2x＋1)的定义域为0，12.(4)f(x－1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1个单位，不改变值域．f(x)－1的图象就是将f(x)的图象向下平移1个单位，所以f(x－1)的值域为[2,3]，f(x)－1的值域为[1,2]．【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值域，加深对函数定义域的理解，弄明白f(x)与f[u(x)]定义域之间的区别与联系，其实在这里只要f(x)中x取值的范围与f[u(x)]中式子u(x)的取值范围一致就行了.注意习题(3)就是习题(1)和习题(2)的综合.函数的概念含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，“定义域和对应关系”为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：①已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[u(x)]的定义域，只需求不等式a≤u(x)≤b的解集即可；②已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求f(x)的定义域然后利用①的方法求解．