(人教A版)数学【选修2-2】第2章《推理与证明》ppt复习课件

第二章推理与证明本章回顾知识结构规律方法总结1.合情推理由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提涵盖的内容，带有猜想的成分，因此，推理所得的结论未必正确；但合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明思路和方向的作用，归纳和类比是合情推理常用的思维方法，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，是做出科学发现的重要手段．类比推理是由特殊到特殊的推理，它常以已知的知识作基础，推测出新的结果，具有发现功能．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．3．证明数学命题的常用方法(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法．综合法的定义，给出了用综合法证明数学结论的方法步骤，其基本思路是“由因导果”，即从已知推可知，再逐步推向未知(结论)的过程，它是数学中最常用的方法．(2)分析法：是从待证的结论出发，一步一步的去寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或被证明的事实．因此，若从最后一步倒推回去，直到结论，这个过程就是综合．因此，在解答较复杂的数学命题时，常用分析法找思路，再用综合法表达，有时分析法和综合法合用称为“分析综合法”．(3)反证法：数学中的命题，都有题设条件和结论两部分．当我们证明一个命题时，不直接从题设出发去证明结论成立，而是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新的结论与题设矛盾(或与已知、定义、定理等事实相矛盾，或者自相矛盾)．这说明原命题结论的否定是错误的，从而肯定原结论是成立的，这就是用反证法证明数学命题的过程．一般地，结论中出现“至多”，“至少”，“唯一”等词语，或结论以否定的语句出现，或要讨论的情况复杂等，都可以考虑用反证法．(4)数学归纳法：它主要用于与正整数有关的数学命题，证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)，验证n＝n0时，命题成立．第二步(归纳递推)，假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时命题也成立．在第二步中必须用上假设，否则不是数学归纳法．对于与正整数有关的探索性问题，一般经过归纳、猜想，探索出结论，再用数学归纳法证明.数学思想方法1.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，尽管结论的正确性有待证明，但在探索新结论，发现新方法，拓展新知识方面有着极其重要的作用，也是每个人应必备的基本能力．【例1】观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.n＝2，S2＝4，n＝3，S3＝8，n＝4，S4＝12，…，按此规律，推出Sn与n的关系式为________．【解析】依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．【答案】Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)【例2】中学数学中存在很多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“∽”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a∈A，都有a∽a.(2)对称性：对于a，b∈A，若a∽b，则b∽a.(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a∽b，b∽c，则a∽c.那么称“∽”是集合A的一个等价关系，例如“数的相等”是等价关系，而直线的平行不是等价关系(自反性不成立)，请你再判断两个关系________．【解析】类比“数的相等”这一等价关系知，a与a自身相等，a与b相等，则b与a也相等，a与b相等，b与c相等，则a与c也相等．可联想到如下关系也是等价关系：图形的全等，图形的相似，命题的充要条件，非零向量共线等．【答案】图形的全等，命题的充要条件注：答案不唯一．2．观察，归纳，猜想利用归纳猜想探究数列的通项一直是高考的热点．【例3】已知数列{an}的相邻两项a2k－1，a2k是关于x的方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k＝0的两个根，且a2k－1≤a2k(k＝1,2,3，…)．(1)求a1，a3，a5，a7及a2n(n≥4)，不必证明；(2)求数列{an}的前2n项和S2n.【解】(1)方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k＝0的两根为x1＝3k，x2＝2k.当k＝1时，x1＝3，x2＝2，∴a1＝2；当k＝2时，x1＝6，x2＝4，∴a3＝4；当k＝3时，x1＝9，x2＝8，∴a5＝8；当k＝4时，x1＝12，x2＝16，∴a7＝12.∵当n≥4时，2n3n，∴a2n＝2n(n≥4)．(2)S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(3＋6＋9＋…＋3n)＋(2＋22＋…＋2n)＝3n2＋3n2＋2n＋1－2.【例4】一个平面内有n条直线，这n条直线把平面最多分成几块？【解】只有当这n条直线互不平行且没有两条以上的直线相交于同一点时，才能把平面分成的块数最多．下面用f(n)表示n条直线划分平面的块数，用归纳法探求如下：n＝1时，f(1)＝2＝1＋1；n＝2时，f(2)＝4＝2＋2；n＝3时，f(3)＝7＝4＋3；n＝4时，f(4)＝11＝7＋4；……∴f(n)＝f(n－1)＋n＝f(n－2)＋(n－1)＋n＝f(n－3)＋(n－2)＋(n－1)＋n＝……＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋nn＋12＝n2＋n＋22.规律技巧对于比较抽象的问题，可通过具体化探求其规律，如本例先用实验的方法，求出n＝1，2，3，4时的fn的值，从中归纳出规律递推关系fn＝fn－1＋n，使问题得以解决.3．综合法综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．【例5】设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)0，求证：(1)方程f(x)＝0有实根；(2)－2ba－1；(3)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则33≤|x1－x2|23.【分析】(1)f(x)＝0中二次项系数有参数a，应考虑a＝0与a≠0，进而分类讨论，从后一小题可知应证a≠0.(2)求证ba的范围，故应把c消去．(3)即证13≤(x1－x2)249，并将(x1－x2)2转化为(x1＋x2)2－4x1x2，由根与系数关系证明．【证明】(1)若a＝0，b＝－c，f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)，由条件a＋b＋c＝0，消去b，得Δ＝4(a2＋c2－ac)＝4[(a－12c)2＋34c2]0.故方程f(x)＝0有实根．(2)由f(0)·f(1)0，得c(3a＋2b＋c)0.由条件a＋b＋c＝0，消去c，得(a＋b)(2a＋b)0.∵a20，∴(1＋ba)(2＋ba)0.故－2ba－1.(3)由条件，知x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a＝－a＋b3a，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝49(ba＋32)2＋13.∵－2ba－1，∴13≤(x1－x2)249.故33≤|x1－x2|23.4．分析法分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．【例6】设a，b，c为一个三角形的三边，S＝12(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求证：S2a.【证明】因为S2＝2ab，所以要证S2a，只需证SS2b，即bS.因为S＝12(a＋b＋c)，只需证2ba＋b＋c，即证ba＋c.因为a，b，c为三角形三边，所以ba＋c成立，所以S2a成立．【例7】四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)【解析】欲使BD⊥A1C，只需BD⊥平面AA1C1C，只需BD⊥AC.∴可填条件：BD⊥AC或ABCD为正方形等．【答案】BD⊥AC5．反证法应用反证法证明命题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论．当结论的反面有多种情况时，必须罗列各种情况加以论证，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的．【例8】求证：一元二次方程至多有两个不相等的实根．【分析】所谓至多有两个，就是不可能有三个，要证“至多有两个不相等的实根”，只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立，即证明了原命题，可考虑反证法．【证明】假设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有三个不相等的实根x1，x2，x3，则ax21＋bx1＋c＝0，①ax22＋bx2＋c＝0，②ax23＋bx3＋c＝0，③由①－②得a(x1＋x2)＋b＝0.④由①－③得a(x1＋x3)＋b＝0.⑤由④－⑤得a(x2－x3)＝0，∵a≠0，∴x2－x3＝0，即x2＝x3.这与x1≠x2≠x3相矛盾．所以原方程至多有两个不相等的实根．【例9】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an及前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】(1)设公差为d，由a1＝1＋2，S3＝a1＋a2＋a3＝9＋32，得a1＝1＋2，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2.∴an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bp·br.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)·2＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴(p＋r2)2＝pr.∴(p－r)2＝0，∴p＝r与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．6．数学归纳法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要从特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探索规律性问题，其解题思路是：从已知条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后对归纳、猜想的结论进行证明．【例10】是否存在常数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(an2＋bn＋c)对一切n∈N*都成立？并证明你的结论．【解】假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(an2＋bn＋c)中，令n＝1，得4＝16(a＋b＋c)．①令n＝2，得22＝12(4a＋2b＋c)．②令n＝3，得70＝9a＋3b＋c.③由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，于是，对于n＝1,2,3时，都有1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(3n2＋11n＋10)成立．下面用数学归纳法证明：对一切正整数n，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(3n2＋11n＋10)成立．(1)由上可知，当n＝1,2,3时，该等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，等式成立．即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk＋112(3k2＋11k＋10)成立．那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝k＋1k＋212(3k2＋5k＋12k＋24)＝k＋1k＋212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，由此可知，当n＝k＋1时，等式也成立，综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对一切n∈N*都成立．第二章测请做：word部分：点此进入该word板块试