概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×”）1、连续型随机变量X的概率密度函数)(xf也一定是连续函数（×）2、随机变量X是定义在样本空间S上的实值单值函数（√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量（√）4、离散型随机变量X的分布律就是X的取值和X取值的概率（√）5、随机变量X的分布函数()Fx表示随机变量X取值不超过x的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的（×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类（×）8、若()()()()PABCPAPBPC成立，则,,ABC相互独立（×）9、若,,ABC相互独立，则必有()()()()PABCPAPBPC（√）二、单选题1、设123,,XXX是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),XNXNXN{22)(1,2,3)iiPPXi，则（A）A．123PPPB.213PPPC.321PPPD.132PPP2、设随机变量~(0,1)XN，其分布函数为()x，则随机变量min{,0}YX的分布函数()Fy为（D）A、1,0()(),0yFyyyB、1,0()(),0yFyyyC、0,0()(),0yFyyyD、0,0()(),0yFyyy3、设随机变量X的密度函数为()x，且()()xx，()Fx是X的分布函数，则对任意实数a，有（B）A、0()1()aFaxdxB、01()()2aFaxdxC、()()FaFaD、()2()1FaFa分析()()()()aaaFaxdxxttdtxdx令0001()()()()()2()aaaaaxdxxdxxdxxdxxdxFaaxdx（-）+201()()2aFaxdx，选B4、设1Fx（）与2Fx（）分别为随机变量1X与2X的分布函数，为使12FxaFxbFx（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）A、3255ab，B、2233ab，C、1322ab，D、1322ab，分析根据分布函数的性质lim1xFx（），即121limxFxFaFbFab（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A满足1ab-，选A5、设1X和2X是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1fx（）和2fx（），分布函数分别为1Fx（）和2Fx（），则（D）A、12fxfx（）+（）必为某一随机变量的概率密度B、12fxfx（）（）必为某一随机变量的概率密度C、12FxFx（）+（）必为某一随机变量的分布密度D、12FxFx（）（）必为某一随机变量的分布密度分析首先可否定选项A与C，因为1212[]21fxfxdxfxdxfxdx（）+（）（）（）12FF（+）+（+）=1+1=21对于选项B，若112xfx，〈〈-1（）=0，其它，210xfx，〈〈1（）=0，其它，则对任何1212(,),0,01xfxfxfxfxdx（）（）（）（），也应否定C。选D进一步分析可知，若令12(,)XmaxXX，而1,2iiXfxi（）,，则X的分布函数Fx（）恰是12FxFx（）（），因为12121221{}{(,)}{,}{}{}FxPXxPmaxXXxPXxXxPXxPXxFxFx（）=（）（）6、设随机变量X与Y均服从正态分布22(,4),(,5)XNYN，记12{4},{5}pPXpPY，则（A）A、对任何实数都有12ppB、对任何实数都有12ppC、只有的个别值，才有12ppD、对任何实数都有12pp分析14{4}{}(1),44XpPXP25{5}{}1(1)(1)55YpPYP因此，对任何实数都有12pp。选A7、设随机变量X服从正态分布2(,)XN，则随的增大，概率{}PX（C）A、单调增大B、单调减少C、保持不变D、增减不定分析由于2(,)XN，故(0,1)XN，{}{1}(1)XPXP计算看出概率{}PX的值与的大小无关。选C8、设随机变量X服从正态分布(0,1)XN，对给定的(01)，数z满足{}PXz。若{}PXx，则x等于（C）A、2zB、12zC、12zD、1z分析由于(0,1)XN，故对任何正数0，有1{}{}{}2PXPXPX，若{}PXx，则因01，必有0x且1111{}{}{}(1{})2222PXxPXxPXxPXx由此可见12xz。选C9、假设随机变量X服从指数分布，则随机变量{,2}YminX的分布函数（D）A、是连续函数B、至少有两个间断点C、是阶梯函数D、恰好有一个间断点分析设Y的分布函数为()YFy，X的概率密度函数为1,0(),(0)0,0xexfxx由于{,2}YminX，因此0,0(){}{{,2}}1,021,2yYyFyPYyPminXyeyy因为222()2,()1YYyylimFylimFye，所以Y的分布函数为()YFy恰好有一个间断点2y。选D三、填空题1、在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于13的概率为5/92、设随机变量X的分布函数为0,10.4,11(){}0.8,131,3xxFxPXxxx，则X的概率分布为（）分析在X的分布函数()Fx的各间断点处，有{}{}{}()(0)PXxPXxPXxFxFx则{1}(1)(10)0.4PXFF，{1}(1)(10)0.4PXFF，{3}(3)(30)0.2PXFF，因此X的概率分布为X-113P0.40.40.23、设随机变量X概率密度为13,01()29,360,xfxx其它，若k使得2{}3PXk，则k的取值范围是（）分析当1k时，11012{}{1}1{1}1()133PXkPXPXfxdxdx当3k时，31012{}{3}1{3}1()133PXkPXPXfxdxdx当13k时，322{}{3}{3}0{3}033kPXkPkXPXdxPX故k的取值范围是13[13]k或者，。4、设随机变量X概率密度为201()0,xxfx，其它，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件1{}2X出现的次数，则{2}PY（）分析由于12011{}224PXxdx，故1(3,)4YB，于是223139{2}()()4464PYC5、设随机变量X服从参数为(2,)p的二项分布，设随机变量Y服从参数为(3,)p的二项分布，若5{1}9PX，则{1}PY（）分析因为00222{1}1{0}1(1)1(1)PXPXCppp，又5{1}9PX解方程251(1)9p，得13p，因此003333219{1}1{0}1(1)1(1)1()327PYPYCppp6、离散型随机变量是从（取值）角度定义的，连续型随机变量是从（概率）角度定义的。四、计算题1、（1）一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律（2）将骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数。求X的分布律。解：(1)X的可能取值为3，4，5;X的分布律为X345P1p2p3p10113351CXPp，103435232CCXPp，106535243CCXPp。(2)设21,yy分别表示第一、二次掷出的点数，样本空间为}6,,2,1;6,,2,1),({2121yyyyS，),min(21yyX的可能取值为1，2，3，4，5，6。X的分布律为6,5,4,3,2,1,36213}{kkkXP。事件}{kX发生，当且仅当①ky1且,6,,2,12kky共有6-k种情况；②ky2且,6,,2,11kky共有6-k种情况；③ky1且ky2仅一种情况，之一发生，因此事件}{kX包含6-k+6-k+1个样本点。2、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：以X表示同一时刻被使用的设备个数，则X～b(5,0.1)，（1）0729.0)1.01(1.0}2{3225CXP（2）}5{}4{}3{}3{XPXPXPXP00856.01.0)1.01(1.0)1.01(1.054452335CC（3）99954.000001.000045.01}5{}4{1}3{XPXPXP（4）40951.0)1.01(1}0{1}1{5XPXP3、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6,0.7，今各投三次。求（1）二人投中次数相等的概率。（2）甲比乙投中次数多的概率。解：设X，Y分别表示甲、乙投中的次数，则X～b(3,0.6)，Y～b(3,0.7)（1）3030}{}{)}(){(}{iiiYPiXPiYiXPYXP321.07.06.0)7.01(7.0)6.01(6.0)7.01(7.0)6.01(6.0)7.01()6.01(3322322321321333CCCC4、某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数为X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时为记）。（1）求某天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率。（2）求某天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。解：由题知，X～)2(t，且2t，,2,1,0,!}{kkekXPk（1）3t，所求概率为2231.0}0{23eXP；（2）5t，所求概率为9179.01}0{1}1{25eXPXP。5、在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。解：X的分布函数为}{)(xXPxF，（1）当0x时，0}{)(xXPxF；由题知kkxxXP,}0{是常数，为了确定k，取ax，得akkaaXP1,1}0{，因此，（2）当ax0时，axxXPxF}{)(；（3）当xa时，1}{)(xXPxF；于是xaaxaxxxXPxF,10,/0,0}{)(。6、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是000,1)(4.0xxexFxX求下述概率：（1）P{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}。解：（1）