平面向量知识点总结

平面向量知识点总结基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB(几何表示法)；②用字母a、b等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axy，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。22axy；若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB，222121()()ABxxyy3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||aa就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(abbab是唯一）||babaab0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0abbxyxy（其中1122(,),(,)axybxy）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为2性质：0abab12120abxxyy（其中1122(,),(,)axybxy）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则：ACab（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）DBab三角形法则,加法首尾相连减法终点相连方向指向被减数——加法法则的推广：112nABABBB……1nnBB即n个向量12,,aa……na首尾相连成一个封闭图形，则有12aa……0na②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a+(b)；差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=ab③平面向量的坐标运算：若11(,)axy，22(,)bxy，则ab),(2121yyxx，ab),(2121yyxx，(,)axy。④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)⑤常用结论：（1）若1()2ADABAC，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则0GAGBGC7．向量的模：1、定义：向量的大小，记为|a|或|AB|2、模的求法：若(,)axy，则|a|22xy若1122(,),(,)AxyBxy，则|AB|222121()()xxyy3、性质：（1）22||aa；22||(0)||abbab（实数与向量的转化关系）（2）22||||abab，反之不然（3）三角不等式：||||||||||ababab（4）||||||abab（当且仅当,ab共线时取“=”）即当,ab同向时，||||abab；即当,ab同反向时，||||abab（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即22222||2||||||ababab8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；（3）运算定律λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb交换律：abba;分配律：()abcacbc(a)·b=(a·b)=a·(b);——①不满足结合律：即()()abcabc②向量没有除法运算。如：abcbac，2aaabb都是错误的（4）已知两个非零向量,ab，它们的夹角为，则ab=||||cosab坐标运算：1122(,),(,)axybxy，则1212abxxyy（5）向量ABa在轴l上的投影为：︱a︱cos，（为an与的夹角，n为l的方向向量）其投影的长为//||anABn（||nn为n的单位向量）（6）ab与的夹角和ab的关系：（1）当0时，ab与同向；当时，ab与反向（2）为锐角时，则有0,abab不共线；为钝角时，则有0,abab不共线9．向量共线定理：向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。10．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e。(1)不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)11.向量a和b的数量积：①a·b=|a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。②|b|cos称为b在a的方向上的投影。③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。④若a=（1x，1y）,b=（x2，2y）,则2121yyxxba⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥a和b的夹角公式：cos=abab＝222221212121yxyxyyxx⑦2aaa|a|2=x2+y2，或|a|=222ayx⑧|a·b|≤|a|·|b|。)3,3(321321yyyxxx12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，即2121yyxx，或x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ0；当a与b异向时，λ0。|λ|=|b||a|，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：a⊥ba·b=0坐标语言：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0