一阶电路的零输入响应和零状态响应

§8-1零输入响应一、RC电路的零输入响应对下图电路，求换路以后的)0(t+-U0R0t=0C+-ucRi+-uR。，，)()()(tutituRc1、换路前后，电路的物理过程0)0(0)0()0(00RcuiUut，，时，+-U0R0t=0C+-ucRi+-uR+-CucRi+-uR0cU)0(u,0tt=0+时，uc(0+)=uc(0-)=U0,uR(0+)=U0,i(0+)=,Wc(0)=20CU21RU0，放出能量（放电），时，)()()()(0RtutitutuCtcRc达到稳态。，放电结束，电路，，00iuutRc2.电路的微分方程及其求解设响应为uc(t)0)0(000UutudtduRCdtduRCRiuuuccccRRc及（齐次微分方程），一阶齐次微分方程的解为式中K是由初始条件确定的待定常数，S是特征方程的特征根。stcKetu)(+-CucRi+-uR0cU)0(u,0t因特征方程为01RCSRCS1则RCtcKe(t)u在上式中令t=0，得K=uC(0)=U0式中，称为RC电路的时间常数SRC10)(00teUeUtutRCtc，则tcReRURuRuti0)(又，t0U00tuc0tiRU0由上述结果可看出：（1）特征根为负（即为正）的零输入响应是从初始值开始随时间单调衰减的指数函数。所经历的过渡过程的长短取决于RC（即时间常数），R和C↑，过程会↑。（2）RC电路零输入响应变化过程的实质是电容的贮能逐渐被R所消耗的过程。（3）求一阶电路的零输入响应，就是找初始值及特征根（或时间常数）。如果电路中有多个电阻或含受控源，则=RC中的R应是动态元件两端的戴维宁电阻R0。（4）因=0.368，所以是零输入响应衰减到初始值的0.368时的时间。1e二、RL电路的零输入响应以iL为变量的方程：0)0(0IiRidtdiLLLL由特征方程0RLS且令称为RL电路的时间常数。RLS1LRSt=0I0RLiL12RiLL+-uL0LI)0(i,0tttLRLeIeIti00)(0t，，te0RIdtLdiL)t(Lu及t0I0iLt0.368I000uLt-RI0可见，当s0时，RL电路的零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数。何以?RL这是因为在同样的初始电流时，L↑，贮能↑，过渡过程将愈长。即。而初始电流一定时，R↑，消耗的功率↑，放电时间↓，所以。LR1三、小结1.一阶电路零输入响应的通式,t0teftf)0()(即只需求得和τ，就可得出一阶电路的零输入响应。)0(f3.零输入响应满足线性性(即比例性和叠加性)。2.由动态元件的性质及KVL、KCL确定；τ由电路本身参数确定：或。CR00RL)0(f(若电路中有多个电阻或受控源，式中R0为时动态元件两端的戴维宁等效电阻。)0t例求时的i1、i2、i3。0t+-10Vabt=0i3i2i11H101020i3i2i11H20200t+-a10Vi1(0-)10t=0-解：这是求零输入响应，先求teiti)0()(11又∵R0=20∥20=10由t=0-的电路，)0(1)0(11iAi∴0tAe5.0)t(i21)t(i)t(i0tAe)t(it10132t101，，S101RL则i3i2i11H20200t§8-2零状态响应初始状态为零，仅由外加激励引起的响应称为零状态响应。一、RC电路的零状态响应+-USt=0R+-uRCic+-ucuc(0-)=0+-US+-RuRicC+-uc(t=0+)1.电路的物理过程t=0-时，0)0(0)0(cciu，t=0+时，，电容等效为短路，0)0()0(ccuu为最大值，最大值。RUisc)0(SRUu)0(随t↑，∵，∴uC(t)↑,uR(t)↓,ic↓。0)0(0Cidtductc当t→∞时，ic→0，uR→0，uc→Us达到最大值，此时电容相当于开路，电路达到稳态。+-R+-uRicC+-ucUS)(t+-USRicC+-uc0t2.uc(t)的微分方程及其求解0)0(csccuUudtduRC由KVL非齐次一阶微分方程的解为：)()()(tututucpchc式中uch是齐次解，形式由特征根确定，即tRCtstchKeKeKetu)(0t，+-USRicC+-uc0tucp(t)是特解，其形式与外加激励相同，对于直流激励，ucp应为常数，故令Qtucp)(将它代入微分方程得scpUQtu)(StcUKetu)(∴式中待定常数K由uc(0)确定，在上式中令t=0，0)(scUKtusUKtscceRUdtduCti)(以及，t00.63USUS0uctictRUSRUs368.0+-USRicC+-uc0t0t)e1(U)t(utsc，∴由上可以看出：1)不跃变的uc(t)的零状态响应是从零值按指数规律上升趋于稳态值，该稳态值可由电路观察看出。在上面的电路中，uc的稳态值为，所以电容电压的零状态响应可写成。2)并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳态值，例如ic(t)是从其初始值按指数规律衰减到零。这是上图电路中ic本身性质所确定的。ScUu)()1)(()(tcceutu+-USRicC+-uc0t例图示电路，2A电流源在t=0时加于电路，u(0)=0，求i1(t)，t0，并画出其波形。2Ai10.01Fi2+-u2i1+-44解：设i2如图。先求u，则dtduCi2得212ii（1）求。因为时，C等效为开路，此时电路如图)(ut(a)t=2Ai1+-2i1+-44)(uViiuAi12)(2)(4)(2)(111，（2）求R0和τ：由图（b），在端口处加i1，求u。i1+-2i1+-u440R(b)SCRiu10i2i8iu111.001.0101001则0RViiuAi12)(2)(4)(2)(111，(3)0)1(12)1)(()(10tVeeututt，02.12)(02.112001.0)(10110102tAetitAeedtduCtittt，，2Ai10.01Fi2+-u2i1+-440.8i1(A)2t(s)二、RL电路的零状态响应ISt=0baRLiL+-uLuLISRLiL+-t0,iL(0)=0以iL为变量的微分方程:0)0(LsLLiIidtdiRL解得0)(0)1()(teRIdtdiLtuteIiititSLLtSLpLhL，，式中RL从数学结果和波形看出，不跃变的iL(t)的零状态响应与uC(t)的零状态响应一样也是从零值开始按指数规律上升趋于其直流稳态值。)(LiiLIS0tuLRIS0t掌握这一规律，在RL一阶电路中，求任意变量的零状态响应，可以先求iL(t)的零状态响应，再从电路的约束关系，求出任意变量的零状态响应。三、直流一阶电路零状态响应的小结1.RC电路中的uC，RL电路中的iL，其零状态响应有如下通式：0)1)(()(teftft，CR0式中为uC或iL的直流稳态值.为时间常数，对RC电路，对RL电路，R0是t≥0时动态元件两端的戴维宁电阻R0。0RL)(f2.电路达到稳态时，电容如同开路，电感如同短路，由此的等效电路求出相应的或。)(cu)(Lit3.求出uc或iL的零状态响应后，若需求其它变量的零状态响应，可由uc或iL置换C或L，再由电路的约束关系求出。4.零状态响应满足线性性（即比例性和叠加性）。