新初中升高中数学衔接教材

一、数与式的运算第一节乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：一、乘法公式引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？acbcabcbacba222)(2222（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3ba，能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）32232333)()()(babbaabababa···················①那?)(3ba呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3)(ba中的b换成－b即可。（Rb）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换3223333)(babbaaba············符号的记忆，和――差从代换的角度看问：能推导立方和、立方差公式吗？即（）（）＝33ba由①可知，))(()33()(2222333bababaabbababa······②立方差呢？②中的b代换成－b得出：))((2233babababa▲符号的记忆，系数的区别例1：化简)1)(1)(1)(1(22xxxxxx法1：平方差――立方差法2：立方和――立方差（2）已知,012xx求证：xxx68)1()1(33▲注意观察结构特征，及整体的把握二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法试分解因式：)2)(1(232xxxx要将二次三项式x2+px+q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).用十字交叉线表示:1a1ba+b（交叉相乘后相加）若二次项的系数不为1呢？)0(2acbxax，如：3722xx如何处理二次项的系数？类似分解：1－32－1-6+-1=-7)12)(3(3722xxxx整理：对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：a1+c1a2+c2a1c2+a2c1=a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。〔按行写分解后的因式〕十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化例2：因式分解：（1）5762xx（2）22865yxyx（3）2)322)((yxyx（2）分组分解法分解ynymxnxm，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法两种方法适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式练习：因式分解（1）xxx33923（2）224)1(4yxyx（3）433xx（试根法，竖式相除）归纳：如何选择适当的方法作业：将下列各式分解因式（1）652xx；（2）652xx；（3）652xx；（4）652xx（5）2223aaxx；（6）2233xyyxyx；（7）baabba2222（8）646a；（9）axax)1(2【公式1】cabcabcbacba222)(2222证明：2222)(2)(])[()(ccbabacbacbacabcabcbacbcacbaba222222222222等式成立【例3】计算：22)312(xx解：原式=22]31)2([xx913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222xxxxxxxxxx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((babababa(立方和公式)证明:3332222322))((bababbaabbaabababa说明:请同学用文字语言表述公式2.【例4】计算：（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3【公式3】3322))((babababa(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=（3）)916141(31212mmm=（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）27m3-n3=（2）27m3-81n3=（3）x3-125=（4）m6-n6=【公式4】33322()33abababab【公式5】33223()33abaababb【例5】计算：（1）)416)(4(2mmm（2）)41101251)(2151(22nmnmnm（3）)164)(2)(2(24aaaa（4）22222))(2(yxyxyxyx解：（1）原式=333644mm（2）原式=3333811251)21()51(nmnm（3）原式=644)()44)(4(63322242aaaaa（4）原式=2222222)])([()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例6】已知2310xx，求331xx的值．解：2310xx0x31xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222xxxxxxxx说明：本题若先从方程2310xx中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例7】已知0cba，求111111()()()abcbccaab的值．解：bacacbcbacba,,,0原式=abbacaccabbccba333()()()aabbccabcbcacababc①abccabccabbababa3)3(]3))[((32233abccba3333②，把②代入①得原式=33abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()(0)aaa(2)2||aa(3)(0,0)ababab(4)(0,0)bbabaa【例8】化简下列各式：(1)22(32)(31)(2)22(1)(2)(1)xxx解：(1)原式=|32||31|23311*(2)原式=(1)(2)23(2)|1||2|(1)(2)1(1x2)xxxxxxxx说明：请注意性质2||aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例9】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2)323(3)11ab(4)3282xxx解：(1)83=46282383(2)原式=23(23)3(23)63323(23)(23)(3)原式=22ababababab(4)原式=2222222223222xxxxxxxxxxx说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如323)或被开方数有分母(如2x)．这时可将其化为ab形式(如2x可化为2x)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323化为3(23)(23)(23)，其中23与23叫做互为有理化因式)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如a与a；ybxa与ybxa互为有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。【例10】计算：(1)2(1)(1)()ababab(2)aaaabaab解：(1)原式=22(1)()(2)2221baaabbaabb(2)原式=11()()aaaabaababab()()2()()ababaababab说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例11】设2323,2323xy，求33xy的值．解：22(23)23743,74314,12323xyxyxy原式=2222()()()[()3]14(143)2702xyxxyyxyxyxy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．1．二次根式2aa成立的条件是()A．0aB．0aC．0aD．a是任意实数2．若3x，则296|6|xxx的值是()A．－３B．３C．－９D．９3．计算：(1)2(34)xyz(2)2(21)()(2)ababab(3)322)())((babababa(4)221(4)(4)4ababab4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：(1)38a(2)1aa(3)4ababba(4)112232315．化简：(1)219102325mmmmmm(2)222(0)2xyxyxyxxy6．若112xy，则33xxyyxxyy的值为()：A．35B．35C．53D．537．设11,3232xy，求代数式22xxyyxy的值．8．已知11120,19,21202020axbxcx，求代数式222abcabbcac的值．练习9．设512x，求4221xxx的值．10．化简或计算：(1)113(184)2323(2)22122(25)352(3)2xxxyxxyyxyyxxyy答案：1．C2．A3．(1)2229166824xyzxyxzyz(2)22353421aabbab(3)2233abab(4)331164ab4．2()22212abaaaab5．2mmxy6．D7．13368．